Newton yöntemi için çekim havzası

9

Newton'un doğrusal olmayan denklemleri çözme yönteminin, başlangıç tahmini çözüme "yeterince yakın" olduğunda kuadratik olarak birleştiği bilinmektedir.

"Yeterince yakın" nedir?

Bu çekim havzasının yapısı hakkında literatür var mı?

iterative-method convergence nonlinear-equations

— David Ketcheson
kaynak

Kök izole edilmelidir (çoklu değil). Hessian bölgede eşit olarak belirliyse (yukarı veya aşağı içbükey), gitmek için iyi olmalısınız. Elbette bu koşulların ampirik olarak garanti edilmesi veya test edilmesi genellikle pratik değildir.

— hardmath

Geçen gün NA-Digest'te soruyu gördüm ve ilginç olduğunu düşündüm. Görünüşe göre tek ben değildim :-)

— Wolfgang Bangerth

8

Karmaşık alanda tek bir rasyonel denklem için cazibe havası fraktal, Julia setinin zorlanmasıdır. http://en.wikipedia.org/wiki/Julia_set . Bazı güzel çevrimiçi figürlerle teori için bkz. Örneğin,
http://mathlab.mathlab.sunysb.edu/~scott/Papers/Newton/Published.pdf
http://hera.ugr.es/doi/15019160.pdf

$x^3-1=0$

Bu nedenle, çözüme neyin "yeterince yakın" olduğunu ayrıntılı olarak belirtmenin çok az anlamı vardır. Eğer kişi ikinci türevleri sınırlarsa, Newton'un yönteminin birleştiği topun yarıçapında daha düşük sınırlar veren Newton - Kantorovich teoremi vardır, ancak 1D hariç, bunlar oldukça kötümser olma eğilimindedir.

Hesaplamalı olarak faydalı sınırlar, aralık aritmetiği kullanılarak elde edilebilir; bakınız, örneğin,
makalem Shen Zuhe ve A. Neumaier, Krawczyk operatörü ve Kantorovich teoremi, J. Math. Anal. Baş. 149 (1990), 437-443'te açıklanmaktadır.
http://www.mat.univie.ac.at/~neum/scan/61.pdf

— Arnold Neumaier
kaynak

x^{3} - 1 = 0

$x^3 - 1 = 0$

x > 0

$x > 0$

x > 1

$x > 1$

1

@hardmath: evet, ancak karmaşık denklem 2 değişkente iki gerçek denklem haline gelir, bunun aynısı geçerlidir.

— Arnold Neumaier

4

Bir fraktal sınıfına yol açtığı düşünüldüğünde "yeterince yakın" olarak nitelendirilmesi zordur . Çizgi arama ve güven bölgesi gibi küreselleşme stratejilerine sahip Newton yöntemleri çekim havzasını genişletmektedir. Eğer optimizasyon gibi ilave problem yapısı mevcutsa, yakınsama için gerekli varsayımlar daha da zayıflatılabilir.

— Jed Kahve
kaynak

Sadece merak için, "Optimizasyon gibi ek sorun yapısı varsa, yakınsama için gerekli varsayımlar daha da zayıflatılabilir" diye bir örneğiniz var mı?

— vanCompute

@vanCompute En iyi duruma getirme ile ilgili bir örnek için, nesne işlevinin birinci dereceden eniyilik koşullarında kaybolan bilgileri sağladığı bu örneğe bakın . Başka bir form, belirli bir devamın (sahte, parametre, ızgara vb.) Her zaman yakınsak olduğu bilgisidir, ancak sorunu doğrudan çözmeyi denerse, çözüme ulaşmadan önce kalıntı artması gerekebilir.

— Jed Brown

3

Karmaşık polinomlara uygulanan Newton yöntemi için bazı yararlı sonuçlar vardır.

$f$

r = \frac{η}{2 d}

$r=\frac{\eta}{2d}$

η

$\eta$

f

$f$

d

$d$

f

$f$

Diğer açık sınırlar Anthony Manning tarafından Newton'un yöntemini kullanarak karmaşık bir polinomun kökünü nasıl bulacağınızdan emin olmak için verilmiştir (Teorem 1.2).

Hubbard ve ark. Tarafından Newton'un yöntemiyle karmaşık polinomların tüm köklerinin nasıl bulunacağına bakınız .
İcat etmek. Matematik. 146 (2001), no. 1, 1–33. pdf

— LHF
kaynak

Math.stackexchange.com/a/1038487/589 adresinden uyarlanmıştır .

— lhf