Hamilton matrisinin üstel matrisi

Let gerçek, kare, yoğun matrisler olmak. ve simetriktir. İzin Vermek $A, G, Q$ $G$ $Q$

'H = [\begin{matrix} bir & - G, \\ - S & - {bir}^{T} \end{matrix}]

$H = \begin{bmatrix} A & -G \\ -Q &-A^T \end{bmatrix}$

Hamilton matrisi olun. üstel matrisini hesaplamak istiyorum . Tam matris üstel, , sadece matris-vektör ürününe ihtiyacım var. Hamilton matrisinin üstel değerini hesaplamak için özel algoritmalar veya kütüphaneler var mı? $H$ $e^{tH}$

linear-algebra matrix dense-matrix

— Max Behr
kaynak

Matrisin üstel olmasını mı istiyorsunuz, yoksa gerçekten sadece ODE mi çözmek istiyorsunuz ?

\dot{z} = H z

$\dot z = Hz$

— Daniel Shapero

Matrix Üsteline ihtiyacım var. Ama aynı şekilde ODE çözebilirim .

\dot{Z} = H Z, Z (0) = I

$\dot{Z} = H Z,\ Z(0)=I$

— Max Behr

Benner'ın öz çözücüleri koruyan yapısı, matris üstel hesaplamayı kolaylaştırmak için benzerlik dönüşümüyle başa çıkabilir.

— percusse

@RichardZhang Acımasız yol QZ ayrışmasıdır. Daha fazla bilgi için örneğin link.springer.com/article/10.1007/s002110050315 adresinden başlayarak kontrol edin .

— percusse

Kağıt Compute Bir Matrisin Üstel 19 Şüpheli Yolları, 25 Yıl Sonra birçok feci (ve birkaç iyi) matris üstel hesaplamak için yolları anlatılıyor. Hamilton problemlerine özgü değildir, ancak yine de bu tür problemler üzerinde çalışıyorsanız gerçekten değerlidir.

— Daniel Shapero

Yanıtlar:

Çok hızlı cevap ...

Hamilton matrisinin üssü sezgiseldir, muhtemelen korumak istediğiniz bir özelliktir, aksi takdirde basitçe yapı koruyucu olmayan bir yöntem kullanırsınız. Gerçekten de, yapılandırılmış yöntemi kullanmanın gerçek bir hız avantajı yoktur, sadece yapının korunmasıdır.

Sorununuzu çözmenin olası bir yolu şudur. Birinci böyle bir simplektik matrisi Hamilton ve üst üçgen blok ve sol yarı düzlem içinde özdeğer sahiptir. Bu alarak, örneğin, bu matris elde , burada ilişkili Riccatti denklemi çözer $\hat{H}=M^{-1}HM=\begin{bmatrix} \hat{A} & -\hat{G}\\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$ $\hat{A}$ $\begin{bmatrix}I & 0\\ X & I\end{bmatrix}$ $X$ $H$ veya (ortogonal olduğundan daha kararlı) Schur ayrışmasını yeniden düzenleyerek ve Laub hile uygulayarak (yani, üniter Schur faktörünü ile değiştirerek ). Hamiltonyan'ın hayali eksende özdeğerleri varsa bunu yapmakta zorluk çekebilirsiniz, ancak bu uzun bir hikaye ve şimdilik bunun sizin probleminizde olmadığını varsayacağım. $H$ $\begin{bmatrix}U_{11} & U_{12} \\ U_{21} & U_{22}\end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix}U_{11} & -U_{12} \\ U_{12} & U_{11}\end{bmatrix}$

Bir kez , sahip ve hesaplayabilir burada gibi bir şey inanmak, belli Lyapunov denklemi çözer $M$ $\exp(H)=M\exp(\hat{H})M^{-1}$

tecrübe (\hat{'H}) = [\begin{matrix} tecrübe (\hat{bir}) & X \\ 0 & tecrübe (- {\hat{bir}}^{T}) \end{matrix}],

$\exp(\hat{H}) = \begin{bmatrix} \exp(\hat{A}) & X\\ 0 & \exp(-\hat{A}^T) \end{bmatrix},$

X

$X$

(işaretler yanlış olabilir; empoze

ve doğru denklem elde etmek için bloklar genişletmek. Bu hile için "Schur-Parlett yöntemi" konusuna bakın).

\hat{bir} X + X {\hat{bir}}^{T} = - tecrübe (\hat{bir}) \hat{G,} - \hat{G,} tecrübe (- {\hat{bir}}^{T})

$\hat{A} X + X \hat{A}^T = -\exp(\hat{A}) \hat{G} - \hat{G} \exp(-\hat{A}^T)$

\exp (\hat{H}) \hat{H} = \hat{H} \exp (\hat{H})

$\exp(\hat{H})\hat{H}=\hat{H}\exp(\hat{H})$

O zaman üç faktör tam olarak sezgiseldir. Bunları ayrı ayrı kullanın: ürünü hesaplamayın yoksa bu özelliği sayısal olarak kaybedersiniz.

— Federico Poloni
kaynak

H

$H$

\tilde{H} = [\begin{matrix} \hat{A} & - G \\ 0 & - {\hat{A}}^{T} \end{matrix}]

$\tilde{H}= \begin{bmatrix} \hat{A} & -G \\ 0 & -\hat{A}^T \end{bmatrix}$

X_{L}

$X_L$

\hat{A} X_{L} + X_{L} {\hat{A}}^{T} = - G

$\hat{A} X_L + X_L \hat{A}^T = -G$

M_{2} = [\begin{matrix} I & X_{L} \\ 0 & I \end{matrix}]

$M_2=\begin{bmatrix} I & X_L \\ 0 & I \end{bmatrix}$

\hat{H}

$\hat{H}$

\hat{\hat{H}}

$\hat{\hat{H}}$

\hat{A}

$\hat{A}$

\hat{- A^{T}}

$\hat{-A^T}$

$\mathcal H$

$A$ $G$ $Q$ $\mathcal H$ $H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$ $A$ $G$ $Q$ yoğun yapısını ve sıkıştırma potansiyelini (çekirdeğe bağlı olarak) açıklayan integral bir denklemden gelir.

$(H-\lambda I)^{-1}$ $\mathcal H$ $\mathcal H$ $A$ $G$ $Q$

$\mathcal H$

$\mathcal{H}$

$\mathcal H$ $\mathcal H$

Bu yaklaşımın dezavantajları:

etkin temsiline dayanır $A$ $G$ $Q$
Hamilton yapısından faydalanmaz

pozitif:

matris üstelinin sıkıştırılmış temsili, yine de bir matris olmasına rağmen, sadece bir MVP yapmanın bir yolu değil
doğrusal-logaritmik karmaşıklık (düşük rütbeli varsayım varsa)
kütüphane bloklardaki transpozisyon ve simetriden yararlanabilir

— Anton Menshov
kaynak