Hangi uygulama örneklerinde, ek ön koşullandırma şemaları çarpımsal olanlardan daha üstündür?

Hem alan ayrışması (DD) hem de çoklu-ızgara (MG) yöntemlerinde, blok güncellemelerinin veya kaba düzeltmelerin uygulanmasını katkı veya çoklayıcı olarak oluşturabilir . Noktasal çözücüler için, Jacobi ve Gauss-Seidel iterasyonları arasındaki fark budur. için gibi çarpma özelliği daha yumuşak olarak uygulanır.$Ax = b$$S(x^{old}, b) = x^{new}$

$x_{i+1} = S_n(S_{n-1}( ..., S_1(x_i, b) ..., b), b)$

ve katkı maddesi daha pürüzsüz olarak uygulanır.

$x_{i+1} = x_{i} + \displaystyle\sum_{\ell = 0}^{n}\lambda_\ell(S_\ell(x_i, b) - x_i)$

bazı sönümleme için . Genel fikir birliği, çarpma düzleştiricilerinin çok daha hızlı yakınsama özelliklerine sahip olduğu görülüyor, ama merak ediyorum: Hangi durumlarda bu algoritmaların katkı varyantlarının performansı daha iyi?$\lambda_i$

Daha spesifik olarak, Katkı varyantının çarpma varyantından önemli ölçüde daha iyi performans göstermesi gereken ve / veya daha iyi performans gösteren herhangi bir kullanım durumu var mı? Bunun teorik nedenleri var mı? Multigrid hakkındaki çoğu literatür , Additive yöntemi hakkında oldukça kötümserdir , ancak DD bağlamında Schwarz katkı maddesi olarak çok kullanılır. Bu aynı zamanda doğrusal ve doğrusal olmayan çözücülerin oluşturulmasına ilişkin daha genel bir konuya ve hangi tür yapıların iyi performans göstereceğine ve paralel olarak iyi performans göstereceğine de uzanmaktadır.

Katkı yöntemleri daha fazla eşzamanlılık ortaya çıkarır. Bu eşzamanlılığı kullanabiliyorsanız genellikle çoğullayıcı yöntemlerden daha hızlıdırlar. Örneğin, kaba multigrid seviyeleri tipik olarak gecikme ile sınırlıdır. Kaba seviyeleri daha küçük alt iletişimcilere taşırsanız, daha ince seviyelerden bağımsız olarak çözülebilirler. Çarpımsal bir şemada, kaba seviyeler çözülürken tüm procları beklemek zorundadır.

Ayrıca, algoritmanın her seviyede azalmaya ihtiyacı varsa, katkı varyantı, çarpımsal metot bunları sırayla gerçekleştirmek zorunda kaldığı yerlerde birleştirebilir.

SPD problemleri için, daha önce de belirtildiği gibi birkaç nedenden dolayı MG yumuşatma için ek yöntemler daha iyidir ve birkaç tane daha:

@Article{Adams-02, 
author = {Adams, M.~F. and Brezina, M. and Hu, J. J. and Tuminaro, R. S.}, 
title = {Parallel multigrid smoothing: polynomial versus {G}auss-{S}eidel}, 
journal = {J. Comp. Phys.}, 
year = {2003}, 
volume = {188}, 
number = {2}, 
pages = {593-610} }

Bununla birlikte, çoğullayıcı yöntemler bir MG pürüzsüzleştirici için kutudan çıkar çıkmaz doğru spektral özelliklere sahiptir, yani sönümlemeye ihtiyaç duymazlar. Bu, polinom düzleştirmenin çok hoş olmadığı hiperbolik problemler için büyük bir kazanç olabilir.

@Jed'in söylediklerini yeniden ifade edeceğim: Multiplicative yöntem her zaman en azından Additive yöntemini (asimptotik olarak) birleştirir, böylece sadece eşzamanlılığa göre kazanırsınız, ancak bu mimariye bağlıdır.