Chebyshev Polinomları Kullanırken Spektral Yöntem ile Zorluk

Bir makaleyi anlamaya çalışırken biraz zorlanıyorum. Makale, birleştirilmiş ODE sisteminden gelen bir özdeğeri çözmek için spektral yöntem kullanmaktadır. Şimdi sadece bir denklem yazacağım, çünkü sorularımın temeline ulaşmak yeterli.

Denklemi

$V[r] = \frac{e^{-(\nu[r] +\lambda[r])}}{\epsilon[r] + p[r]} *\biggr[ (\epsilon[r] + p[r])( e^{\nu[r] +\lambda[r]})r W[r] \biggr]'$

Türevleri alıyorum ve

(Denk1) $V = \biggr[ \frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} + r(\nu'+\lambda') +1 \biggr] W + r W'$

Şimdi makaleye göre sistemin denge miktarlarını ) formun Chebyshev Polinomları olarak genişletebilmeliyim $(\epsilon ,p ,\nu ,\lambda$

, buradapolinomlar bulunmaktadır. BenMathematica yazdım kodu kullanarakalmak biliyorum. Ayrıca, ve alanolan. $B[r] = \Sigma_{i=0}^{\infty}b_i T_i[y] - \frac{1}{2} b_0$ $T_i[y]$ $b_i$ $y = 2(r/R) -1$ $r$ $(0,R)$

Makalede ayrıca ( ) işlevlerinin $V,W$ ve genel olarakgibi bir terimşöyle ifade edilebilir: $F[r] = (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}f_i T_i[y] - \frac{1}{2} f_0$ $B[r]F[r]$

$B[r]F[r] = \frac{1}{2} (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty} \pi_i T_i[y] - \frac{1}{2} \pi _0$

burada ve için ve 1 eşittir için . $\pi_i = \Sigma_{j=0}^{\infty}[b_{i+j} + \Theta(j-1)b_{|i-1|} ] f_l$ $\Theta(k) = 0$ $k<0$ $k\geq 0$

Tüm söylenenlerle, aşağıdaki denge işlevlerini yaptığımı söyleyelim

ve, Sonra Denk1 olur $\frac{\epsilon' +p'}{\epsilon + p} = B_1[r]$ $r(\nu'+\lambda') = B_2[r]$

(Eşitlik2) . $\bigg((\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}v_i T_i[y] - \frac{1}{2} v_0 \bigg) = \biggr[ B_1[r] + B_2[r] +1 \biggr] \biggr( (\frac{r}{R})^l \Sigma_{i=0}^{\infty}w_i T_i[y] - \frac{1}{2} w_0 \biggr) + r W'$

Soru 1: ile ne yapacağımterimleri? Polinomlarnin işlevleridir,bu yüzden $(\frac{r}{R})^l$ $[y]$ [y] X işlevi? Ayrıca, denklemin her iki tarafında onları bölebilirim gibi görünüyor, o zaman bu terimin giriş noktası neydi? Yani, bu terime göre, bu terimin, sıfıra giderkensıfıragittiğisınır koşulunu empoze etmesi gerekiyordu. $B[r]= (\frac{r}{R})^l$ $V,W$ $r$

* Soru 2: * Ben başa nasıl yapayım içinde terimi. Makale, türev terimlerin nasıl ele alınacağına dair bir açıklama verir, ancak kendisi hakkında ne söylenir. Bir denge değeri gibi davranmalı mıyım ve kuralı gibi terimler için mi kullanmalıyım yoksa bu cinsinden ifade etmeli miyim ? Yoksa başka bir şey yapmalı mıyım? $r$ $r*W'$ $r$ $B[r]F[r]$ $r$ $y$

eigenvalues polynomials spectral-method

— tau1777
kaynak

Belki referansta bulunduğunuz makaleye bağlantı verebilirsiniz?

— Aron Ahmadia

Merhaba Aron, İşte arxiv.org/pdf/gr-qc/0210102.pdf Sorun yaşıyorum Sorun yaşadığım sayısal şeyler Ek A'da açıklanıyor ve yukarıda incelediğim denklem denklem (19). Teşekkürler.

— tau1777

y

$y$

\frac{r}{R}

$\frac{r}{R}$ (and hence of

r

$r$ ).

— Christian Clason

I'm not sure it's possible to answer the question without a detailed reading of the paper. But in regards to the first question, you have $r/R = (y+1)/2$ . And this factor cannot be divided out since it does not multiply all terms.

For question 2: since this equation is to be used to apply the boundary condition at $r=0$ , Sanırım bahsettiğiniz terim yok olmalı.

— David Ketcheson
kaynak