“Dalga denklemi” için sonlu farklar şeması, karakteristikler yöntemi

Zorlama teriminin ( formülasyon için aşağıdaki Düzenleme 1'e bakınız) ve ve bunun ilk türevlerine bağlı olabileceği aşağıdaki problemi düşünün . Bu 1 + 1 boyutlu dalga denklemidir. reçete edilen ilk verilerimiz var .

W_{u v} = F

$W_{uv} = F$

u, v

$u,v$

W

$W$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

aralığında bağımlılık alanı içindeki çözümle ilgileniyorum ve aşağıdaki sonlu fark şemasını göz önünde bulunduruyorum.

{u + v = 0, u \in [- u_{M}, u_{M}]}

$\{ u+v = 0, u \in [- u_M,u_M]\}$

Hedef gelişmeye olan tarafından ve benzer . Bu şema böylece yukarı doğru entegre ederek başlangıç verilerinden tutarlı bir şekilde hesaplayabilirim ; dolayısıyla sadece ve için evrim denklemlerine . $W_u$ $W_u(u,v+1) - W_u(u,v) = F(u,v)$ $W_v(u+1,v) - W_v(u,v) = F(u,v)$ $W (u, v) + W_{u} (u, v) + W_{v} (u + 1, v) = W (u + 1, v + 1) = W (u, v) + W_{v} (u, v) + W_{u} (u, v + 1)$ $W(u,v) + W_u(u,v) + W_v(u+1,v) = W(u+1,v+1) = W(u,v) + W_v(u,v) + W_u(u,v+1)$ $W$ $W_v$ $W_u$
İlk veriler için uyumluluk koşuluna ihtiyacımız var . Bu da, ilk verileri yarı-tamsayı noktalarında verilen değerleri ile ilk kez ileri ( ) sonlu farkını kullanarak ilk verileri hesaplayabildiğimi gösterir . $W_u(u,v) - W_v(u+1,v-1) = W(u+1,v-1) - W(u,v)$ $u$ $W$ $W_t$ $(u+0.5,v-0.5)$

Soru :

Bu iyi bilinen bir program mı? Özellikle, bu şemanın analizini nerede bulabilirim?
Dikkat etmem gereken herhangi bir şey var mı?

Arka plan : Hiçbir şeyin yanında bilmiyormuşum gibi davran (biraz hesaplama makinesini öğrenmeye çalışan saf bir matematikçi olduğum için muhtemelen doğru).

Düzenleme 1 : Sadece açıklığa kavuşturmak için (bazı yorumları ele almak için): koordinatlarındaki denklem ve ve tarafından verilen ¨null koordinatlar¨ olacaktır (bazı renormalize edici faktörlere kadar) 2) ve . Yani ilk veriler aslında . $x$ $t$

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt} - W_{xx} = F$

u

$u$

v

$v$

u = t + x

$u = t+x$

v = t - x

$v = t-x$

{u + v = 0}

$\{u+v = 0\}$

{t = 0}

$\{t = 0\}$

Bu yüzden e uyarlanmış bir ağ yerine, 45 °' ye döndürülmüş ye uyarlanmış bir ağ olduğunu düşünüyorum . tamsayı değerleri aldığı karşılaştırıldığında , mesh'in ve ) 'in ikisinin (sadece birinden değil) yarım tamsayı değerlerini aldığı ek noktalara sahip olduğu düşünülebilir . $(t,x)$ $(u,v)$ $(t,x)$ $t,x$ $u,v$ $t$ $x$

finite-difference reference-request hyperbolic-pde

— Willie Wong
kaynak

Aboneleriniz tarafından biraz kafam karıştı, ama bu bana bir çeşit sonlu farklı zaman alanı formülasyonu gibi geliyor. . . belki de aşamalı bir örgü formülasyonu ile (yarı endeksler?).

— meawoppl

@meawoppl: O sadece

yerine

değişkenlerini yaygın olarak yapar. (Olağan olarak

formülasyonu, onlar da tarafından döndürülür

karşı uzay-zaman düzleminde

, ama bu ayrı bir mesele.)

u, v

$u,v$

x, t

$x,t$

u, v

$u,v$

45^{\circ}

$45^\circ$

x, t

$x,t$

— Wolfgang Bangerth

Açıklığa kavuşturmak için düzenledim (Wolfgang Bangerth'ın açıklaması aklımdaki şey).

— Willie Wong

Yanıtlar:

Bunun gibi şemalarda kesinlikle edebiyat vardır. İki anahtar kelime

Değiştirilmiş karakteristikler yöntemi
Yarı Lagrange şemaları

20 dakikalık googling sonrasında: Bazı önemli makaleler http://dx.doi.org/10.1137/0719063 ve http://dx.doi.org/10.1137/0728024 (oradan ileriye doğru arama yapın). Bunlar muhtemelen en iyi referanslar değildir , ancak sizi doğru literatüre sokmak için bir başlangıç noktası olmalıdırlar.

Bunu boyutsal bölünme ile döndürülmüş bir çizgi yöntemi olarak düşünüyorum. Muhtemelen denkleminizin denkliğinin ve dönüşümü altındaki dalga denkleminin normal formunun çok iyi farkındasınız Benim için, şemanızı bu geleneksel dalga denklemi biçimi açısından düşünmek faydalı olacaktır. Şemanın yaptığı, önce bir özellik kümesi, sonra diğeri boyunca entegre olmaktır. Entegrasyon boyutsal bölme ve Euler yöntemi kullanılarak yapılır.

W_{t t} - W_{x x} = F

$W_{tt}-W_{xx} = F$

u = t + x, v = t - x .

$u = t+x, \ \ \ \ v = t-x.$ , her ikisi de ilk sipariş doğru.

Tabii ki, karakteristiklerle bütünleştiğiniz için, şemanız durumunda kesin olacaktır . Yani, şemanızdaki sayısal hatalar sadece sayısal entegrasyonundan kaynaklanacaktır (bu açık olabilir, ancak daha geleneksel sayısal yöntemlere alışkın olanlara işaret etmek için belki de yararlıdır). Ayrıca, şemanız durumu için koşulsuz olarak kararlıdır . bazı özelliklerini bilmeden kararlılığı hakkında başka bir şey söylenemez . Genel olarak, şema yalnızca bazı sonlu adım boyutu kısıtlaması altında kararlı olacaktır (Euler yöntemi açık olduğu için). Eğer $F=0$ $F$ $F=0$ $F$ $F$ tamamen hayali özdeğerlere sahipse, şema kararsız olacaktır.

Bir PDE'nin bir ODE sistemine indirgenmesi (yönteminizde olduğu gibi) genel ayrıklaştırma yaklaşımı, çizgi yöntemi olarak bilinir. Herhangi bir satır ayrıklaştırma yönteminde olduğu gibi, daha yüksek mertebeden bir ODE çözücü kullanarak doğruluk sırasını artırabilir ve uygun bir örtülü ODE çözücü kullanarak (adım başına hesaplama maliyetindeki ilgili artışla) kararlılığı artırabilirsiniz.

— David Ketcheson
kaynak

"ancak Google size daha fazla yardımcı olacaktır" Aslında bu büyük sorunlardan biri. Ne için Google'dan tam olarak emin değilim (sayısal literatürün saf literatürden farklı terimler kullanabileceğinden şüpheleniyorum). Aramam gereken bazı anahtar kelimeler önerebilirseniz minnettar olurum. (Örneğin, "Çizgiler yöntemi", beni gerçek bir bilgi zenginliğine işaret ediyor [belki de :-) ile filtreleyebilmem için biraz fazla].)

— Willie Wong

@WillieWong - Yaygın olarak gösterdiğimiz hiperbolik denklemler için bir referans LeVeque'in Hiperbolik Problemler için Sonlu Hacim Yöntemleridir . Bunun sizin için doğru referans olup olmadığından emin değilim, ancak en azından size alandaki terim ve tekniklere bir giriş sağlayacaktır.

— Aron Ahmadia

Tamam, bazı anahtar kelimeler ve referanslar ekledim. Umarım yardımcı olurlar.

— David Ketcheson

Referanslar için çok teşekkürler! Bu bana iyi bir başlangıç yaptı.

— Willie Wong

David Ketcheson'un cevabında beni bıraktığı yerden başlayarak, biraz daha fazla araştırma bazı tarihi notlar ortaya çıkardı.

Yukarıda özetlediğim şema, 1900 yılında, Mémoire sur l'intégration graphique des équations aux dérivées partielles'te J. Massau tarafından daha önce düşünülmüştü . Eser 1952'de G. Delporte, Mons tarafından yeniden yayınlandı.

Yakınsama ve bunun gibi ilk (kısa da olsa) modern analizi Courant, Friedrichs ve Lewy's tarafından Math'daki klasik 1928 makalelerinde verildi. Ann.

— Willie Wong
kaynak

Vay be, bunun CFL gazetesinde olduğunu fark etmediğime inanamıyorum ...

— David Ketcheson