Sonlu fark yöntemleri için von neumann kararlılık analizine alternatifler

13

Birleştirilmiş tek boyutlu poroelastisite denklemlerini ( biot'un modeli) çözmeye çalışıyorum :

- (λ + 2 μ) \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0

$-(\lambda+ 2\mu) \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial p}{\partial x} = 0$

etki alanında

ve sınır koşulları:

\frac{\partial}{\partial t} [γ p + \frac{\partial u}{\partial x}] - \frac{κ}{η} [\frac{\partial^{2} p}{\partial x^{2}}] = q (x, t)

$\frac{\partial}{\partial t} \left[ \gamma p + \frac{\partial u}{\partial x}\right] -\frac{\kappa}{\eta}\left[\frac{\partial^2 p}{\partial x^2}\right] =q(x,t)$

Ω = (0, 1)

$\Omega=(0,1)$

ileve $p=0, (\lambda + 2\mu)\frac{\partial u}{\partial x}=-u_0$ $x=0$ ile. $u=0, \frac{\partial p}{\partial x} = 0$ $x=1$

Bu denklemleri ortalanmış bir sonlu fark şeması kullanarak ayırdım:

(λ + 2 μ) \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - 2 u_{i}^{t + 1} + u_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}} + \frac{p_{i + 1}^{t + 1} - p_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x} = 0

$(\lambda + 2\mu)\frac{u^{t+1}_{i+1}-2u^{t+1}_i+u^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2} + \frac{p^{t+1}_{i+1}-p^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x} = 0$

γ \frac{p_{i}^{t + 1} - p_{i}^{t}}{Δ t} + \frac{u_{i + 1}^{t + 1} - u_{i - 1}^{t + 1}}{2 Δ x Δ t} - [\frac{u_{i + 1}^{t} - u_{i - 1}^{t}}{2 Δ x Δ t}] - \frac{κ}{η} [\frac{p_{i + 1}^{t + 1} - 2 p_{i}^{t + 1} + p_{i - 1}^{t + 1}}{Δ x^{2}}] = q_{i}^{t + 1}

$\gamma \frac{p^{t+1}_i-p^t_i}{\Delta t} + \frac{u^{t+1}_{i+1}-u^{t+1}_{i-1}}{2\Delta x \Delta t} -\left[ \frac{u^t_{i+1}-u^t_{i-1}}{2\Delta x \Delta t}\right] - \frac{\kappa}{\eta}\left[ \frac{p^{t+1}_{i+1} -2p^{t+1}_i + p^{t+1}_{i-1}}{\Delta x^2}\right]=q^{t+1}_i$

Şu anda planın tutarlılığını ve kararlılığını analiz ederek yakınsama detaylarını inceliyorum. Tutarlılık kısmı benim için oldukça basit görünüyor, ancak zaten kararlılık analiziyle ilgili bazı zorluklar öngörüyorum. Her şeyden önce iki değişken ve iki denklem vardır. İkinci olarak, ikinci denklemde karışık bir uzaysal-türev türevi terimi de vardır. Von neumann stabilite analizine aşinayım ve bu yöntemle stabilite oluşturmanın çok zor olacağını görebiliyorum. Kullanabileceğim von neumann analizine alternatifler var mı?

— Paul
kaynak

1

t

$t$

x

$x$

u

$u$

p

$p$

u

$u$

İster sistem ister skaler PDE olarak yazıyor olun aynı sorun.

— David Ketcheson

7

$\frac{\partial u}{\partial x}$ $u_x$

[\begin{matrix} 0 & 0 \\ I & I \end{matrix}] \frac{d}{d t} [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] + [\begin{matrix} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ - Δ_{h} & 0 \end{matrix}] [\begin{matrix} p_{h} (t) \\ u_{x, h} (t) \end{matrix}] = [\begin{matrix} q_{h} (t) \\ 0 \end{matrix}] (*)

$\begin{bmatrix} 0 & 0 \\ I & I \end{bmatrix} \frac{d}{dt} \begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}+\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ -\Delta_h & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} p_h(t) \\ u_{x,h}(t) \end{bmatrix}= \begin{bmatrix} q_h(t) \\ 0 \end{bmatrix} \quad (*)$

1

$1$

_{h}

${}_h$

\frac{d}{d t}

$\frac{d}{dt}$

Şimdi diferansiyel-cebirsel (DAE) yapı belirgindir. Değişkenler için hem diferansiyel (zaman içinde) hem de cebirsel denklemler vardır.

$\begin{bmatrix} -\partial_h & \partial_h \\ I & I \end{bmatrix}$

Bu yaklaşımla, belki de kararlılık analizinden geçebilirsiniz.

$L^2$ $(*)$ $\Delta_h$ $\partial_h$

$(*)$ $u\leftarrow u_x$

EK: Denklemleri ayırt etmeden ODE'ye dönüştürülebiliyorsa, bir DAE'nin indeks 1 olduğu söylenir.

Diyelim ki, DAE şu şekildedir

[\begin{matrix} E_{1} \\ 0 \end{matrix}] \dot{y} + [\begin{matrix} A_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] y = f .

$\begin{bmatrix} E_1 \\ 0 \end{bmatrix}\dot y + \begin{bmatrix} A_1 \\ A_2 \end{bmatrix} y = f.$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix}$

\tilde{y} \to y

$\tilde y \to y$

[\begin{matrix} E_{1} \\ A_{2} \end{matrix}] \to [\begin{matrix} {\tilde{E}}_{11} & {\tilde{E}}_{12} \\ {\tilde{A}}_{21} & {\tilde{A}}_{22} \end{matrix}]

$\begin{bmatrix} E_1 \\ A_2 \end{bmatrix} \to \begin{bmatrix} \tilde E_{11} & \tilde E_{12} \\ \tilde A_{21} & \tilde A_{22} \end{bmatrix}$

{\tilde{A}}_{22}

$\tilde A_{22}$

A_{2}

$A_2$

{\tilde{A}}_{11} - {\tilde{E}}_{12} {\tilde{A}}_{22}^{- 1} {\tilde{A}}_{21}

$\tilde A_{11} - \tilde E_{12} \tilde A_{22}^{-1} \tilde A_{21}$

$(*)$ $A_2:=[-\partial_h ~ \partial_h]$ $\tilde y_2$ $(p_h,u_{x,h})$ $\frac{d}{dt}\tilde y_2$ $(*)$

— Ocak
kaynak

[\begin{array}{cc} - \partial_{h} & \partial_{h} \\ I & I \end{array}]

$\left[\begin{array}{cc}-\partial_h &\partial_h\\ I & I \end{array}\right]$

Ben ... benim cevap içine argümanları ekleyecektir böylece @ Paul I, başvuru için bir teoremi bulamadık

— Oca

4

Burada verilen denklemlere aşina değilim, ancak derslerimdeki sayısal bir şemanın kararlılığını kontrol etmek için başka bir yöntem öğrendiğimi hatırlıyorum. Modifiye Denklem analizi olarak bilinir.

İşte bunun için iyi bir referans,

http://193.146.160.29/gtb/sod/usu/$UBUG/repositorio/10291890_Warming.pdf

Yukarıdaki referansta, Modifiye Denklem analizine dayanan kararlılık teorisi ile Von Neumann kararlılık analizi arasındaki bağlantı kurulmuştur.

Biraz çevrimiçi arama yaptıktan sonra aşağıdaki referanslarla karşılaştım,

Bu makalede, Biot'un poroelastik denklemlerinin sismik frekanslarda sonlu fark modellemesi tartışılmaktadır. Sayısal şemanın kararlılığı üzerine de bir bölümü vardır.

Bu makale , bağlı sistemin ayrıştırılması ve sayısal şemanın kararlılığının kontrol edilmesi için bir çözüm stratejisi sunmaktadır.

— Subodh
kaynak

Yukarıdaki denklemler üzerinde değiştirilmiş denklem analizini yapmadım, ancak Von Neumann analizine alternatifler sorulduğunda, yukarıdaki cevabı yazdım. Soruyu cevaplamaması oldukça mümkündür. Ancak birisi listelenen referansları çalışmasında yararlı bulabilir.

— Subodh

Referans için teşekkürler! Modifiye Denklem Analizi kağıdınızda gerekli olan formun kullandığım denklemlere tam olarak uymadığını görebiliyorum, ancak yeni analiz tekniklerini öğrenmek oldukça ilgi çekici!

— Paul