3D 4-düğümlü eleman üzerinde polinom ifadesi nasıl entegre edilir?

Ben 3D bir 4-düğüm eleman üzerine bir polinom ifade entegre etmek istiyorum. FEA üzerine birkaç kitap, entegrasyonun keyfi düz 4-elemansız bir eleman üzerinden gerçekleştirildiği durumu kapsamaktadır. Bu durumda olağan prosedür, Jacobi matrisini bulmak ve entegrasyon temelini, daha basit entegrasyon limitlerine [-1; 1] sahip olduğum ve Gauss-Legendre kareleme tekniğinin kolayca kullanıldığı normalleştirilmiş olana değiştirmek için belirleyici kullanmaktır.

Başka bir deyişle $\displaystyle\int_S f(x,y)\ \mathrm{d}x\,\mathrm{d}y\,$ $\displaystyle\int^{-1}_{1}\int^{-1}_{1} \tilde{f}(e,n)\ \left|\det(J)\right|\,\mathrm{d}e\,\mathrm{d}n$

Ancak 2B durumda düz keyfi elemanı düz olana, ancak iyi şekilli kareye 2 2 değiştiririm.

3D 4-noded eleman genel olarak düz değildir, ancak yine de bir şekilde kartezyen koordinat sistemi ile ilişkili olan 2D koordinat sistemi ile eşleştirilebileceğini düşünüyorum. {E, n} cinsinden {x, y, z} 'nin nasıl ifade edileceğini ve bu durumda Jacobi matrisinin boyutunun ne olacağını anlayamıyorum (kare olması gerekiyordu).

2D ve 3D alanlar

finite-element quadrature

— danny_23
kaynak

içine gömülü 2 boyutlu bir manifold üzerine bir fonksiyon entegre ediyorsunuz ; manifoldlar üzerindeki analizdeki kitaplar (Munkres'in erişilebilir kitabı veya Lee'nin manifoldlar üzerindeki kitapları gibi) bu tür bir integrali tanımlayan teoriyi tartışmaya yardımcı olur. $\mathbb{R}^{3}$

Diyelim ki , 4 düğümlü 3-D öğeniz olan manifold üzerinde tanımlanan gerçek değerli bir işlevdir . $f$ $\mathcal{M}$

Hesaplamak istiyorsunuz:

\begin{aligned} \int_{M} f d S . \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S. \end{align}$

ile bir işlev olduğunu varsayalım . Sonra $\varphi$ $[-1,1]^{2}$ $\mathcal{M}$

\begin{aligned} \int_{M} f d S = \int_{[- 1, 1]^{2}} f (φ (x, y)) (det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)))^{1 / 2} d x d y \end{aligned}

$\begin{align} \int_{\mathcal{M}} f \,\mathrm{d}S = \int_{[-1,1]^{2}} f(\varphi(x,y))\Big(\det\big(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y)\big)\Big)^{1/2}\, \mathrm{d}x \,\mathrm{d}y \end{align}$

(Ben notlar bu set üzerinde,. Hafızamı yenilemek için) arasında Jacobi matrisidir ve onun devrik olduğu. $\mathrm{D}\varphi$ $\varphi$ $\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}$

İntegrali üzerine yazabildiğinizde, değerlendirmek için sayısal yöntemleri kullanabilirsiniz. $[-1,1]^{2}$

Bazı yorumlar:

Eminim 4-düğümlü 3-D elemanınız bir manifolddur. Eğer öyleyse, işlevi var (tanım gereği), parçalı olarak sürekli (topolojik manifoldlar için) ve ters çevrilebilir. Bu özelliklere sahip bir işlev bulmak size kalmıştır. $\varphi$
Yukarıdaki argüman nin düzgün bir manifold olduğunu varsayar ki bu da sürekli olarak farklılaşabilen bir olduğunu ima eder . Sizin durumunuzda, tanımladığınız eleman sürekli olarak farklılaşmayabilir. Bu doğruysa, muhtemelen manifoldunuzu iki pürüzsüz manifolda ayırabilirsiniz ve yukarıdaki argüman hala geçerlidir. Yine, ters dönebilirlik ve sürekli farklılaşabilirlik özelliklerini bulmalısınız . $\mathcal{M}$ $\varphi$ $\varphi$

— Geoff Oxberry
kaynak

Çok teşekkürler. Okuduğum kitap sadece işleri basitleştirmek için bir kare (2 x 2) Jacobi matrisinin dahil olduğu durumu kapsıyor. Doğru ifade edersem yukarıdaki ifade keyfi boyutlu (2 x 3) Jacobi matrislerini kullanmayı mümkün kılar. Maalesef şu anda alıyorum ama çok fazla daha önce olduğundan daha iyi. Eşleme işlevinin doğru seçiminde başka bir iş parçacığı oluşturacağım. Tekrar teşekkürler.

det (D φ^{T} (x, y) D φ (x, y)) = 0

$\det(\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}(x,y)\mathrm{D}\varphi(x,y))=0$

— danny_23

Jacobian matrisiniz 3'e 2 olmalı, bu nedenle 2'ye 2 matris olmalıdır.

D φ

$\mathrm{D}\varphi$

D φ^{T} D φ

$\mathrm{D}\varphi^{\mathrm{T}}\mathrm{D}\varphi$

— Geoff Oxberry

Geoff, bu doğru. Buraya basit bir genel formül ve işe

— yaratılmış bir