Sayısal hatalar için bilimsel standartlar

Araştırma alanımda deneysel hataların belirtilmesi yaygın olarak kabul görmekte ve bunları sağlamayan yayınlar oldukça eleştirilmektedir. Aynı zamanda, çoğu zaman şüpheli sayısal yöntemler iş başında olmasına rağmen, sayısal hesaplamaların sonuçlarının herhangi bir sayısal hata hesabı olmadan sağlandığını görüyorum. Sayısal hesaplamaların ayrıklaştırılması ve sonlu hassasiyetinden kaynaklanan hatalardan bahsediyorum. Tabi ki, bu hata tahminlerinin elde edilmesi her zaman kolay değildir, örneğin hidro-dinamik denklemlerde olduğu gibi, ancak çoğu zaman tembellikten kaynaklandığına inanıyorum. Sayısal hata tahminlerinin belirtilmesinin deneysel sonuçlar için olduğu kadar standart olması gerektiğidir. Dolayısıyla benim sorum:

Sorunuz model Doğrulama hakkında soruyor. Doğrulama ve Doğrulama ( Roache 1997 , 2002 , 2004 , Oberkampf & Trucano 2002 , Salari & Knupp 2000 , Babuska ve Oden 2004 ) ve daha geniş bir Belirsizlik Ölçümü konusunu arayarak yöntemler ve standartlar hakkında sayısız kaynak bulabilirsiniz . Metotları detaylandırmak yerine, konuyla ilgili katı bir tavır alan bir topluluğu vurgulamak istiyorum.

1986'da Roache, Ghia ve White , birlikte açılan Sayısal Doğruluk Kontrolü ile İlgili Sıvı Mühendisliği Dergisi Yayın Politikası Beyanı'nı oluşturdu.

Hesaplamalı akışkanlar dinamiği topluluğunda ve aynı zamanda hesaplamalı fiziğin daha geniş alanında profesyonel bir problem vardır. Yani, sayısal doğruluğun kontrolünde daha yüksek standartlara ihtiyaç vardır.

[...] Sorun kesinlikle JFE'ye özgü değil ve 1980-81 AFOSRHTTM-Stanford Karmaşık Türbülanslı Akışlar Konferansında daha da net bir şekilde ortaya çıktı. Bu konferansın Değerlendirme Komitesinin, o konferansa yapılan başvuruların çoğunda, farklı türbülans modellerinin doğruluğunu değerlendirmenin ve karşılaştırmanın mümkün olmadığı, çünkü fiziksel modelleme hatalarını algoritma ile ilgili sayısal hatalardan ayıramayacağı sonucuna varıldı. Kafes. Bu, özellikle birinci dereceden doğru yöntemler ve hibrit yöntemler için geçerlidir.

Doğrudan yönergelerle sonuçlandılar:

Akışkanlar Mühendisliği Dergisi, sistematik kesilme hata testi ve doğruluk tahmini görevini yerine getirmeyen akışkan mühendisliği probleminin sayısal çözümünü bildiren hiçbir yayını kabul etmeyecektir.

[...] sabit bir şebekedeki tek bir hesaplamanın kabul edilemeyeceğini açıkça belirtmeliyiz , çünkü böyle bir hesaplamadan doğruluk tahmini çıkarmak mümkün değildir. Ayrıca, editörler, türbülans modellemesinde olduğu gibi, özellikle herhangi bir ayarlanabilir parametre varsa, yeterli doğruluk kanıtı olarak deneysel verilerle makul bir anlaşmaya varmayacaktır.

Mevcut sürüm kriterleri kapsamlı bir kümesi içerir ve, bence, diğer alanlarda eşleştirmek talip gereken bir standardı temsil eder. Bugün bile, model doğrulamanın önemi hakkında farkındalığın pek çok alanda mevcut olmaması utanç verici.

Güvenilir hata tahminleri genellikle yaklaşık hesaplamalardan çok daha pahalı olduğu için böyle bir standart yoktur .

Temel olarak dört tür hata tahmini vardır:

(i) Sayısal bir yöntemin sayısal olarak kararlı olduğunu kanıtlayan teorik analizler. Bu gerçekten hata çubuğunu vermez, çünkü analiz sadece yapılan hatanın girdi argümanlarındaki niceliksel bir hatadan daha kötü olmadığını garanti eder. Girdiler de yalnızca yaklaşık olduğu için çoğu bilimsel hesaplama için yeterlidir, bu nedenle sayısal olarak sabit bir yöntemle yapılan hata, biraz farklı (ancak bilinmeyen) bir girdi kullanmaktan daha kötü değildir. En çok saygı duyulan sayısal yöntemlere sayısal bir durağanlık analizi eşlik etse de, sonuçta sözde ters hata denilen istek üzerine rapor veren herhangi bir uygulama bulamaz.

(ii) Asimptotik hata tahminleri. Bunlar, tüm hataların ürünlerinin (girdi hataları, yuvarlama hataları veya en yaygın kaynaklar olan ayrıklaştırma hataları) ihmal edilebileceğini (fonksiyonlar çok doğrusal değilse sorgulanabilir) ve girdi hatalarını yaymak için duyarlılık analizini kullanabileceğini varsayar. Sayısal kararlılık analizi ile birlikte, bu yuvarlama hatalarının veya ayrıklaştırma hatalarının etkisini de yakalayabilir. Ortaya çıkan hata çubukları, dayandıkları varsayımların geçerliliği kadar güvenilirdir. Otomatik farklılaştırma araçları kullanılarak, hata tahmininin maliyeti, yaklaşık maliyete ek olarak tipik olarak 1 veya 2 faktörüdür. Dolayısıyla bu tür hata tahminleri pratikte oldukça sık görülür.

[Düzenle] Örneğin, Oettli-Prager teoremi doğrusal sistemlerin çözümü için kolayca hesaplanabilen geriye dönük hata tahminleri verir. Duyarlılık analizi, bu hataların Hager'in tahmincisi kullanılarak tahmin edilebilen matris tersi normu ile çarpılması gerektiğini söyler (modern durum numarası tahmin edicileri içine yerleştirilmiştir).

(iii) Stokastik hata analizi: (CESTAC, http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/0378475488900705) Bu, tüm işlemlerin üç argüman kümesini değerlendiren ve daha sonra yapay bir rastgele yuvarlama hatası ekleyen karşılık gelen bir stokastik varyant ile aşırı yüklenmesi ile yapılır. Son üç sonuç, karekökünün bir ortalama ve standart sapmayı hesaplamak için kullanılır (ortalamadan sapmaların karelerinin toplamı 2 = 3-1'e bölünür). Bu, yuvarlama hata kısmının oldukça yararlı bir doğruluk tahmini verir. Ancak bu, ODE ve PDE hesaplamalarında genellikle baskın olan hata olan takdirsizlik hatasını hesaba katmaz. Maliyet, aşırı yüklenmiş işlemlerin gerçekleştirilmesindeki ek yük nedeniyle programlama diline bağlıdır. Aşırı yüklenmenin zaman cezası taşımadığı varsayılırsa (ki bu neredeyse hiç olmazsa olmaz), sonuç için maliyet artı hata tahmini, yalnızca yaklaşık hesaplamaya kıyasla 3 faktörüdür.

(iv) Aralık analizi: Bu, doğru şekilde yapıldığında tüm hata kaynakları için sıkı sınırlar sağlar, ancak basit durumlar dışında, sınırları gerçek hataları ciddi şekilde abartmayacak şekilde yapmak için çok fazla deneyim (veya bunu içeren yazılım) gerektirir. . Doğrusal cebir (örneğin, IntLab http://www.ti3.tu-harburg.de/rump/intlab/ ; boyut büyükse yaklaşık 6 kat maliyet) ve global optimizasyon için iyi aralık yazılımı mevcuttur. , Hindistancevizi http://www.mat.univie.ac.at/~coconut/coconut-environment/; sorun özelliklerine bağlı olarak çok daha pahalı olabilir veya yaklaşık küresel optimizasyondan bile daha ucuz olabilir). Ancak, yaklaşık olarak (örneğin, güneş sisteminin büyük gezegenlerinin yörüngelerini 10 yıldan fazla bir sürede kapatarak) doğru şekilde tedavi etmesi kolay olan birçok başka sorun sınıfları, şu anki aralık yöntemleri için tamamen erişilemez.

Sırala. Genelde fazla tahmin eden ve uygulamada yararlı olamayacakları için sayısal analizciler tarafından türetilen teorik hata sınırları vardır, çünkü pratikteki sorunlar için elde edilmesi zor olan bilgileri içerebilirler. Bunun iyi bir örneği, Hairer ve Wanner'ın kitaplarında bulabileceğiniz adi denklemlerin çözümündeki sayısal hataların sınırları olabilir. Nick Higham'ın kitabı, Sayısal Algoritmaların Doğruluğu ve Kararlılığı ( başlık hakkında biraz kapalı olabilir), ortak sayısal işlemler ve doğrusal cebir algoritmaları üzerinde bazı hata sınırları da sağlar. Sayısal analiz literatürü bu sınırlarla doludur.

Hata sınırlarını hesaplamak için aralıklı analiz yöntemleri de kullanılmıştır; Bu yöntemler titizdir ve teorik hata sınırlarından daha güçlü hata sınırları sağlama eğilimindedir, ancak bu yöntemler sayısal bir hesaplamada hatayı büyük ölçüde abartmayabilir. Bu yöntemler küresel optimizasyonda en iyi şekilde kullanıldı (bildiğim kadarıyla), ancak belirsizlik nicelleştirmede de kullanım alanı buluyorlar. Arnold Neumaier, aralık analizi yöntemleri üzerine en az bir kitap yazdı ve bu konuda ayrıntılı olarak yorumda bulunmak için daha nitelikli. Potansiyel fazla tahmin sorunlarına ek olarak, aralık analizi yöntemleri mevcut büyük sayısal simülasyon paketlerinin (PETSc, Trilinos, CLAWPACK / PyClaw, vb. ) aralık aritmetik ve otomatik farklılaşmayı içerecek şekilde (Taylor tabanlı yöntemler için). Gördüğüm kadarıyla, bazıları olmasına rağmen, izin verilen lisanslı aralıklı aritmetik ve otomatik farklılaşma paketleri yok. O zaman bile, bazen, bu kütüphaneler sınırlı işlevselliğe sahiptir; BLAS benzeri işlevselliğe sahip izin verilen lisanslı (LGPL veya BSD benzeri) bir aralık aritmetik kitaplığı bulmak zor oldu.

Posteriori hata tahminleri daha kolay elde edilebilir, ancak katı değildir. Sıradan diferansiyel denklemler üzerine yapılan çalışmalardan bu tahminlere en çok aşinayım, ancak kısmi diferansiyel denklemlere çözümler hesaplamak için kullanılan birçok yöntem için de varlar.

Daha genel olarak, polinom kaos genişlemelerinin kullanımı gibi belirsizliğin ölçülmesine yönelik yöntemler, Monte Carlo yöntemleri veya diğer örnekleme yöntemleri girdi parametrelerindeki değişikliklerden kaynaklanan hesaplamalardaki belirsizliği ölçmek için kullanılabilir. Bu yöntemler, parametrelerdeki farklılıklar nedeniyle bir tür sezgisel "hata çubuğu" sağlayabilmeli, ancak kesin sınırlar vermemelidir.

Sayısal hataların belirtilmesi söz konusu olduğunda kesinlikle haklı olduğunuza inanıyorum: hesaplamalı bilim, sonuçlarını deney tabanlı fiziksel bilimler olarak sunmak konusunda da titiz olmalıdır. Bu alanda çok fazla iş var ("belirsizlik ölçümü" ve "sayısal analiz" terimleri altında) ve gelecekte en çok hesaplama sonuçlarını tartışırken hata çubuklarının dahil edileceği umudum var. .

Diğer cevaplara ek olarak, dikkate alınması gereken birkaç ek husus vardır.

1. Sayısal ayrıklaştırma hataları veya en azından şemaların sırası analitik olarak belirlenebilir. Yaygın olarak bilinen bir program kullanıyorlarsa, bu hataların tartışılması kağıtlardan çıkarılabilir.
2. Genellikle basit bir şey olan aynı problemin aşamalı olarak daha hassas ızgaralar üzerinde uygulandığı Izgara arıtma çalışmaları. Bunlar L-normunu, tipik olarak L2'yi bulmak için tam bir solüsyonla veya saçma bir ince ızgaradaki solüsyonla karşılaştırılır. Bu hata tahmininin eğimi doğruluk sırasını verir.
3. Farklı sayısal şemaların mevcut olduğu ancak ızgara iyileştirme veya kesin çözümlerin bulunmadığı problemlerde, Richardson Ekstrapolasyonu adı verilen başka bir yöntem hata koşullarında sınırlar getirecektir. Bu yöntemleri açıklayan iyi bir derleme , bu yazıda bulunabilir .
4. Son olarak, her dergi kendi kabul standartlarını belirler. Bazıları katı, bazıları değildir. Örneğin, AIAA burada standartlarını belirledi . Diğer dergilerde yazarlar için benzer bilgiler vardır.