Anizotropik sınır ağları ile sıkıştırılamaz akış için hangi uzamsal takdir yetkileri çalışır?

Yüksek Reynolds sayısı akışları çok ince sınır tabakaları üretir. Duvar çözünürlüğü büyük Eddy Simülasyon kullanılırsa, en-boy oranı mertebesinde olabilir . Birçok rejim bu rejimde kararsız hale gelir, çünkü inf-sup sabiti en / boy oranının kare kökü veya daha kötüsü olarak bozulur. İnf-sup sabiti önemlidir, çünkü lineer sistemin durum numarasını ve ayrık çözeltinin yaklaşık özelliklerini etkiler. Özellikle, aşağıdaki a priori ayrık hata tutma sınırlar (Brezzi ve Fortin 1991) $10^6$

\begin{aligned} μ ‖ u - u_{h} ‖_{H^{1}} \leq C [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \\ ‖ p - p_{h} ‖_{L^{2}} \leq \frac{C}{β} [\frac{μ}{β} inf_{v \in V} ‖ u - v ‖_{H^{1}} + inf_{q \in Q} ‖ p - q ‖_{L^{2}}] \end{aligned}

$\begin{split} \mu \lVert {\mathbf u} - \mathbf u_h \rVert_{H^1} \le C \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q \in \mathcal Q} \lVert p-q \rVert_{L^2} \right] \\ \lVert{p - p_h}\rVert_{L^2} \le \frac{C}{\beta} \left[ \frac{\mu}{\beta} \inf_{\mathbf v \in \mathcal V} \lVert{\mathbf u - \mathbf v}\rVert_{H^1} + \inf_{q\in \mathcal Q} \lVert{p-q}\rVert_{L^2} \right] \end{split}$

burada dinamik viskozitedir ve inf-sup sabitidir. Bundan , hız ve (özellikle) basınç yaklaşımlarının sonlu elemanlar uzayında mevcut olandan daha kötü hale geldiğini görürüz (yani Galerkin optimallerinin sabiti ve olarak büyür ). $\mu$ $\beta$ $\beta \to 0$ $\beta^{-1}$ $\beta^{-2}$

En boy oranından bağımsız olarak hangi yöntemlerin inf-sup stabilitesi vardır?

Bunlardan hangisi yapılandırılmamış ağlarla kullanılabilir?

Tahminler yüksek dereceli yaklaşımlara nasıl genelleştirilir?

— Jed Kahve
kaynak

MAC sonlu fark şemaları (Harlow ve Welch 1965) eşit olarak stabildir, ancak düzgün yapılandırılmış ızgaralar gerektirir ve sadece ikinci derece doğrudur.

Yapılandırılmamış ve yüksek mertebeden yöntemler için sonlu elemanlar yöntemi tercih edilmektedir. Sürekli Galerkin sonlu elemanlar yöntemleri için, optimum yaklaşım özelliklerine sahip olan ve muntazam stabil olan bilinen bir boşluk yoktur.

$Q_k-P_{k-1}^{\mathrm{disc}}$ optimal yaklaşım özelliklerine sahiptir ve yerel olarak konservatiftir, ancak inf-sup sabiti en boy oranının kare kökü olarak bozunur. Ayrıntılar için Bernardi & Maday 1999'a bakınız.
$Q_k-Q_{k-2}^{\mathrm{disc}}$ en boy oranından bağımsız inf-sup sabitine sahip ve yerel olarak muhafazakâr, ancak inf-sup sabiti şekil düzenli kafeslerde polinom sırası arttıkça (Maday ve ark. 1992). Asma düğümleri veya girintili köşeleri olan ağlarda, bu sınır 2B'de keskindir (Schoetzau ve ark. 1998), ancak 3B'de değerine düşer (Toselli ve Schwab 2003). $\mathcal{O}\left(k^{\frac{1-d}{2}}\right)$ $k^{-3/2}$
Rannacher & Turek 1994'ten döndürülen uyumsuz eleman eşit olarak stabildir, optimal yaklaşım özelliklerine sahiptir ve yerel olarak muhafazakardır, ancak ayrı bir Korn eşitsizliğini karşılamaz, bu nedenle bazı sınır koşulları için sınır düzeltmelerine ihtiyaç duyar ve kullanılamaz. değişken viskozite akışları. Yazarlar tarafından daha sonra yapılan çalışmalar, kenar akışlarını kullanarak bu yöntemleri stabilize etmeye çalışmıştır, ancak ortaya çıkan takdirler, cazip verimlilik özelliklerinin çoğunu kaybeder. $Q_1-P_0$
Ainsworth ve Coggins 2000, biraz daha iyi olan ancak sınırlı fayda sağlayan yüksek teknik alanlar inşa ediyor.

Süreksiz Galerkin için resim biraz daha iyi:

Süreksiz alanı eşit olarak stabildir ve optimal yaklaşım özelliklerine sahiptir (Schoetzau, Schwab ve Toselli 2004). Bu kombinasyon sürekli hız boşluklarında mevcut değildir. İnf-sup sabiti hala polinom derecesine bağlıdır, ancak olarak ölçeklendirilir . $Q_k-Q_{k-1}$ $k^{-3/2}$

— Jed Kahve
kaynak