Birçok Boyutta PDE'ler

PDE'lere yaklaşık çözüm bulma yöntemlerinin çoğunun boyut sayısıyla zayıf ölçeklendiğini ve Monte Carlo'nun ~ 100 boyut gerektiren durumlar için kullanıldığını biliyorum.

~ 4-10 boyutlarında PDE'leri verimli bir şekilde sayısal olarak çözmek için iyi yöntemler nelerdir? 10-100?

Monte Carlo dışında, boyut sayısı ile iyi ölçeklenen herhangi bir yöntem var mı?

pde monte-carlo high-dimensional

— Dan
kaynak

Çözdüğünüz sorunun türü hakkında biraz daha fazla bilgi sağlamanız yardımcı olabilir. Hesaplamalı bilimde ele alınan çoğu PDE en fazla dört boyutlu olma eğilimindedir (zaman artı üç uzamsal boyut). Değişkenler uzamsal mı yoksa zaman değişkenleri mi, yoksa dahil ettiğiniz başka bağımlılıklar var mı?

— aeismail

Mekansal değişkenler. Kuantum mekaniğinde yoğunluk fonksiyonel teorisinde veya Hartree-Fock'ta kullandığınız yaklaşık değerleri yapmak istemiyorsanız, dalga fonksiyonu

boyutludur, burada

elektron sayısıdır. Bu nedenle, küçük atomlar ve moleküller bile doğru işlemek için çok sayıda boyut gerektirir.

3 n

$3n$

n

$n$

— Dan

Bu, çözüm hakkında hangi bilgileri bilmek istediğinize çok bağlıdır. Bir

-elektron dalga fonksiyonu hakkında her ayrıntıyı bilmek zor . Bu yüzden, hesaplama tekniğini gerçekte istenen bilgi ile birleştirmek gerekir.

n

$n$

— Arnold Neumaier

Lütfen 100 boyutta bir elektronik Schroedinger denkleminin Monte Carlo çözümü için bir referans gösterin.

— Arnold Neumaier

Referansım yok. Ben sadece QCD için kullanılan birçok boyutta simülasyonlar duydum. Ben sadece 4-5 boyutlarda Schroedinger simülasyonu yapmak istiyorum, ama monte carlo dışında bir şey boyut sayısı ile iyi ölçeklenmiş olup olmadığını merak ediyordum ve 100 asimptotik ölçekleme almak için güzel, büyük bir yuvarlak sayı gibi görünüyordu.

— Dan

Yanıtlar:

$2^d$ $N^d$

$Q^1_l$

$Q^d_n = \displaystyle\sum^{n}_{l}(Q^{1}_i - Q^{1}_{i-1})\otimes Q^{d-1}_{m-i+1}$

Bu, uzaydan çıkarılmış yüksek karışık siparişler ile tensör ürünü kareleme boşluğuna eşdeğerdir . Bu yeterince ciddi bir şekilde yapılırsa, karmaşıklık büyük ölçüde geliştirilebilir. Bununla birlikte, birisinin bunu yapabilmesi ve iyi bir yaklaşımı sürdürmesi için, çözeltinin düzenliliği, karışık türevleri yeterince yok etmek zorundadır.

Yapılandırma alanındaki Schrödinger denklemi ve oldukça iyi sonuçlar veren diğer yüksek boyutlu şeyler için Griebel grubu tarafından seyrek ızgaralar dövüldü . Uygulamada, kullanılan temel işlevler, onları iç içe geçirebildiğiniz sürece oldukça genel olabilir. Örneğin, düzlem dalgaları veya hiyerarşik bazlar yaygındır.

Kendiniz kodlamak da oldukça basittir. Benim tecrübelerime göre, aslında bu sorunların üstesinden gelmek çok zor. İyi bir öğretici var.

Çözümleri hızla ölen türevlere sahip özel Sobolev alanlarında yaşayan problemler için, seyrek ızgara yaklaşımı potansiyel olarak daha da büyük sonuçlar verebilir .

Ayrıca bkz. Acta Numerica inceleme kağıdı, yüksek boyutlu parametrik ve stokastik PDE'lerin seyrek tensör takdirleri .

— Peter Brune
kaynak

Seyrek ızgaraların uygulanamadığı iyi bilinen örnekler var mı?

— MRocklin

Tutmak için düzenliliğe gerçekten ihtiyacınız var. Ayrıca, kötü yüksek boyutlu cusps'larınız varsa (QM'deki gibi), dikkatli olmalısınız. Bunun olmadığını (hatta deliller ile) ödün başlayan Seyrek Izgara kliği hakkında bazı hikayeler duydum o çok daha iyi Monte-Carlo daha, ama iyi bir referansı bulamıyor.

— Peter Brune

Eh, bahsettiğiniz schroedinger için seyrek ızgaradaki kağıt sadece 2 elektron tedavi eder. Bu yöntemle kaç elektron izlenebilir?

— Arnold Neumaier

Genel bir kural olarak, normal ızgaraların neden 3 veya 4 boyutlu problemlerin çok ötesine geçemediğini anlamak kolaydır: d boyutlarında, koordinat yönü başına minimum N noktasına sahip olmak istiyorsanız, N ^ d elde edersiniz genel puan. 1d'deki nispeten güzel işlevler için bile, bunları çözmek için en az N = 10 ızgara noktasına ihtiyacınız vardır, bu nedenle toplam puan sayısı 10 ^ d olacaktır - yani d'nin ötesine geçme olasılığınız en büyük bilgisayarlarda bile = 9 ve muhtemelen her zamankinden daha fazla gitmeyecek . Çözüm işlevinin belirli özelliklere sahip olması bazı durumlarda seyrek ızgaralar yardımcı olabilir, ancak genel olarak boyutsallığın lanetinin sonuçlarıyla yaşamak ve MCMC yöntemlerini kullanmak zorunda kalacaksınız.

— Wolfgang Bangerth
kaynak

MCMC ne anlama geliyor?

— Dan

Markov zinciri Monte Carlo: en.wikipedia.org/wiki/Markov_chain_Monte_Carlo

— Jack Poulson

$d=4,...,100$ $d=100,101,...\infty$

— Paul
kaynak

O (\sqrt{N})

$O(\sqrt{N})$

10^{7}

$10^7$

C^{k, α}

$C^{k,\alpha}$