üniform ve üniform olmayan ızgara

Muhtemelen öğrenci düzeyinde bir soru ama tam olarak kendime koyamam. Sayısal yöntemlerde tek tip olmayan ızgaraları kullanmak neden daha doğru? formunun PDE için bazı sonlu farklar yöntemi bağlamında düşünüyorum . Ve noktasında bir çözümle ilgilendiğimi varsayalım . Yani, ikinci türevi yaklaşık üç nokta yaklaşımı kullanarak tekdüze bir ızgarada yaklaştırırsam, hatanın ikinci derece . Daha sonra, bir eşleme yoluyla düzgün olmayan bir ızgara oluşturabilir ve türevi yaklaşıklamak için kullanılan üç nokta için katsayılar bulabilirim. Türev ikinci seviyede olması için Taylor açılımlar yapmak ve tekrar bağlanmış elde edebilirsiniz ,x ∗ O ( h 2 ) O ( h 2 ) $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$x^{\ast}$$O(h^2)$$O(h^2)$$h$ , muntazam olmayan bir ızgara ile eşleme elde ettiğim muntazam bir ızgara üzerindeki mesafedir. Her iki tahmin de türev içerir ve çözümün, hata tahminlerindeki karşılık gelen türevlerin büyüklüğüne bağlı olduğu için, çözümün neden homojen olmayan ızgarada daha doğru olacağı açık değildir?

Düzgün olmayan ağların mantığı şu şekildedir (tüm denklemler nitel olarak anlaşılır, yani genel olarak doğrudur, ancak her koşulda ve tüm denklemler veya tüm olası takdirler için kanıtlanabilir bir şekilde söz konusu değildir):

‖ u - u h ‖ 2 L 2 ( Ω ) ≤ C h 4 maks ‖ ∇ 2 u ‖ 2 L 2 ( Ω ) . ‖ ‖ 2 L

$$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$$ $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$$ K, Thmaksimumsaat 4 K ‖∇2u‖ 2 L 2 ( K ) sKα‖∇2u‖ - 1 / 2 L 2 $$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$$ $K$$\mathbb T$$h_\text{max}$. Bunun yerine, en etkili strateji hücre biçimli hata katkılarını dengelemek olacaktır - başka bir deyişle, Başka bir deyişle, yerel ağ boyutu , çözeltinin pürüzlü olduğu (büyük türevlere sahip olduğu) küçük ve çözeltinin pürüzsüz olduğu yerlerde büyük olmalı ve yukarıdaki formül bu ilişki için kantitatif bir ölçüm sağlamalıdır.$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$h $$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$$ $h_K$

Bu örnekle kendinize kanıtlayın. Düzgün bir ağ üzerinde parçalı doğrusal enterpolasyon ile [0,1] aralığında sqrt (x) enterpolasyonunda maksimum hata nedir?

N puanının i (n / n) ^ s ile verildiği ve s'nin dikkatle seçilmiş bir mesh derecelendirme parametresi olduğu bir mesh üzerinde enterpolasyon yaparken maksimum hata nedir?

Düzgün olmayan bir şeyin daha yüksek doğruluğa yol tipik nedeni, çözülecek PDE'nin formunda değil, formunda . Düzgün olmayan ızgaranız gerçek daha doğru bir şekilde temsil etmenize izin veriyorsa , daha doğru bir çözüm elde edersiniz. Çünkü , normal olarak malzeme özellikleri ile belirlenir, normal bir parçalı sabit fonksiyon ve gerçekten buna göre ızgara hizaya bu yüzden, her bir malzeme içinde olası sabit vardır.$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$$u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$$D(x)$$D(x)$

Farklı bir neden, 'un bazı bölgelerde diğerlerinden daha fazla varyasyonu olması olabilir. Bu, adaptif olarak rafine edilmiş düzgün olmayan bir ızgara ile bunu biraz telafi etmeye çalışabilir. (Bununla birlikte, bence bu durumu tek tip olmayan bir ızgaradan daha iyi idare edebilecek başka teknikler de var.)$u(x,0)$

Kamil, diferansiyel denklem çözme küreseldir, enterpolasyon yereldir. Parçalı polinom enterpolasyonunda, tekillikten uzak doğruluk tekillikten rahatsız olmaz. Ne yazık ki, bu iki noktalı bir sınır değer problemi gibi eliptik bir denklemi çözmek için doğru değildir. Tekillik küresel olarak yaklaşımı kirletecektir.

İşte denemek için bir şey. Homojen Dirichlet bcs D ile [0,1] üzerindeki D (sqrt (x) Du) 'yi çözün, diferansiyasyon operatörüdür. Bir n-noktalı düzgün ağ üzerinde sonlu elemanlar veya sonlu farklar kullanın. İçinde i puanının (1 / n) ^ 1.5 olduğu bir ağ ile karşılaştırın. Düzgün ağ için en kötü hatanın tekillikten çok uzak olduğunu ve kademeli ağdan çok daha büyük olduğunu unutmayın.