Uygulamada Bernstein polinomlarını kullandığımızda

Aşağıdaki ilk Sayısal Analiz yöntemlerini kullanmak yerine sürekli bir işleve yaklaşmak için Bernstein polinomlarının kullanılması tercih edildiğinde : "Lagrange Polinomları", "Basit sonlu fark operatörleri".

Soru, bu yöntemin karşılaştırılması ile ilgilidir.

Bernstein polinomları ve Lagrange polinomları aynı boşlukları kapsar. Dolayısıyla, olası işlevler açısından kişi, birini veya diğerini kullanmak fark etmez. Ancak, bunları sonlu elemanlar yönteminde veya enterpolasyon probleminde temel fonksiyonlar olarak kullanmayı düşünüyorsanız, oluşturduğunuz lineer operatörün spektral özellikleri, temel olarak seçtiğiniz polinomlara bağlı olacaktır. Bu, yinelemeli çözücülerin yakınsamasında farklılıklara neden olabilir. Ancak doğrusal cebir hatasının olmaması durumunda, her iki temeli de kullanarak aynı cevabı alırsınız.

Bunu sonlu fark operatörleriyle karşılaştırmak farklı bir hikaye. Polinomları kullanmak size sürekli bir norm üzerinde hata tahminleri verecektir. Sonlu farklar konusunda bilgili değilim, ancak benim anlayışım, yalnızca ayrıklaştırmayı seçtiğiniz konumlarda bir hata tahmini alacağınızdır. Bu noktalar arasında ne olduğu o kadar net değil.

ODE'ler ve PDE'ler için sınır değer problemlerini çözmek için bir kollokasyon yönteminde Bernstein polinomları kullanıyorum. Oldukça ilginçler.

Yakınsama bazı doğrusal BVP'ler için üsteldi, ancak Chebyshev kollokasyonu, Legendre Galerkin ve Tau'ya kıyasla biraz daha yavaştı.

Yakınsama oranlarını bazı Chebyshev spektral yöntemleriyle karşılaştıran şekil. Örnek problem doğrusal BVP'dir:

$\frac{d^2u}{dx^2}-4\frac{du}{dx}+4u = e^x +C \;,\; x \in [-1,1]$

homojen Dirichlet BC'leri ile ve C sabittir $C=-4e/(1+e)^2$.

Bu rakamı figshare'a da yükledim .

İsterseniz, yazdığım kodu kontrol edebilirsiniz:

http://code.google.com/p/bernstein-poly/

Ve işte Bernstein polinom kollokasyonu kullanarak bir kare üzerinde eliptik BVP'lerin çözülmesi hakkında yazdığım arxiv makalesi .

Geçen yıl yüzlerce Bernstein polinomunu kutladılar - bir tane daha ilginç gerçek.

Aşağıdaki makale, Bernstein formundaki polinomları temsil etmenin birçok durumda sayısal olarak kararlı algoritmalara yol açtığını göstermektedir:

RT Farouki, VT Rajan, Bernstein formundaki polinomların sayısal durumu üzerine, Bilgisayar Destekli Geometrik Tasarım , Cilt 4, Sayı 3, Kasım 1987, Sayfa 191-216, DOI: 10.1016 / 0167-8396 (87) 90012-4

Bir Bézier eğrisinin kontrol noktaları eğriye yakındır, ancak zorunlu olarak eğri üzerinde değildir. Bu, Bernstein polinomlarının yakınlaştırmasıyla tamamen aynı durumdur ve aslında Bernstein polinomları, Bézier eğrisinin temelini oluşturur. Gürültülü noktalar tarafından verilen bir eğri boyunca düzgün bir çizgi çizmek için yüksek dereceli bir Bézier eğrisi kullanabilirsiniz, ayrıca yüksek hesaplama çabası nedeniyle kimse bunu yapmaz. Aslında, yüksek dereceli polinom enterpolasyonu nadiren tam da bu nedenle kullanılır, sadece Chebyshev enterpolasyonu bazen bu kuralın bir istisnasıdır.

Ancak sadece düşük dereceli polinom enterpolasyonundan bahsediyorsak, kontrol noktaları aracılığıyla bir Bézier eğrisinin sezgisel spesifikasyonu diğer yöntemlere göre açık bir avantajdır. Bununla birlikte, bu bakımdan NURBS daha da iyidir, ancak en azından bir Bézier eğrisi NURBS'nin özel bir durumudur ve Bernstein polinomları da NURBS için önemli bir bileşendir.