Tam denklemli Neumann sınır koşullarında (sınırlardaki yansıma) sonlu farklar ile denklem denklemini çözerken garip salınım

Tavsiye denklemini çözmeye çalışıyorum ama dalga sınırlardan yansıdığında çözümde ortaya çıkan tuhaf bir salınım var. Eğer bu eseri daha önce kimse görmüşse, nedenini ve nasıl önleneceğini bilmek isterdim!

Bu, animasyonu görüntülemek için ayrı pencerede açılan bir animasyonlu gif (önbelleğe alındıktan sonra yalnızca bir kez oynatılacak veya oynatılmayacak!)

Dalga ilk sınırdan yansımaya başlayana kadar yayılımın oldukça kararlı göründüğüne dikkat edin. Burada ne olabileceğini düşünüyorsun? Birkaç gün kodumu kontrol ederek geçirdim ve herhangi bir hata bulamadım. Garip çünkü iki yayıcı çözüm var gibi görünüyor: biri pozitif diğeri negatif; ilk sınırın yansımasından sonra. Çözümler bitişik ağ noktaları boyunca ilerliyor gibi görünüyor.

Uygulama detayları takip edilir.

Tavsiye denklemi,

$\frac{\partial u}{\partial t} = \boldsymbol{v}\frac{\partial u}{\partial x}$

burada yayılma hızıdır.$\boldsymbol{v}$

Crank-Nicolson, uzayda yavaşça değişken olması koşuluyla denklem için Fourier dönüştürüldüğünde düşük frekanslı bileşenleri içerir ) koşulsuz (pdf bağlantısı) kararlı bir ayrıklaştırmadır .$u(x)$

Uyguladığım takdir yetkisi,

$\frac{\phi_{j}^{n+1} - \phi_{j}^{n}}{\Delta t} = \boldsymbol{v} \left[ \frac{1-\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n} - \phi_{j-1}^{n} \right) + \frac{\beta}{2\Delta x} \left( \phi_{j+1}^{n+1} - \phi_{j-1}^{n+1} \right) \right]$

Bilinmeyenleri sağ tarafa koymak, bunun doğrusal biçimde yazılmasını sağlar,

$\beta r\phi_{j-1}^{n+1} + \phi_{j}^{n+1} -\beta r\phi_{j+1}^{n+1} = -(1-\beta)r\phi_{j-1}^{n} + \phi_{j}^{n} + (1-\beta)r\phi_{j+1}^{n}$

burada (şimdiki zaman ile gelecek nokta arasında eşit olarak ağırlıklı zaman ortalamasını almak için) ve .$\beta=0.5$$r=\boldsymbol{v}\frac{\Delta t}{2\Delta x}$

Bu denklem seti matrisine sahiptir , burada,$A\cdot u^{n+1} = M\cdot u^n$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & -\beta r & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & \beta r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

$\boldsymbol{M} = \left( \begin{matrix} 1 & (1 - \beta)r & & & 0 \\ -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & -(1 - \beta)r & 1 & (1 - \beta)r \\ 0 & & &-(1 - \beta)r & 1 \\ \end{matrix} \right)$

ve vektörleri , çözmek istediğimiz miktarın bilinir ve bilinmezdir.$u^n$$u^{n+1}$

Daha sonra sol ve sağ sınırlara kapalı Neumann sınır koşulları uygularım . Kapalı sınırlarla , her iki arayüzde demek istiyorum . Kapalı sınırlar için (burada çalışmamı göstermeyeceğim) sadece yukarıdaki matris denklemini çözmemiz gerektiği ortaya çıktı. @DavidKetcheson tarafından belirtildiği gibi, yukarıdaki matris denklemleri aslında Dirichlet sınır koşullarını tanımlar . Neumann sınır şartları için,$\frac{\partial u}{\partial x} = 0$

$\boldsymbol{A} = \left( \begin{matrix} 1 & 0 & & & 0 \\ \beta r & 1 & -\beta r & & \\ & \ddots & \ddots & \ddots & \\ & & \beta r & 1 & -\beta r \\ 0 & & & 0 & 1 \\ \end{matrix} \right)$

Güncelleştirme

Davranış, kullandığım sabitlerin seçiminden oldukça bağımsız görünüyor, ancak bunlar yukarıda gördüğünüz çizim için değerlerdir:

• $\boldsymbol{v}$ = 2
• dx = 0.2
• dt = 0.005
• $\sigma$ = 2 (Gauss hwhm)
• $\beta$ = 0.5

Güncelleme II

Sıfır olmayan difüzyon katsayısına sahip bir simülasyon, (aşağıdaki yorumlara bakınız), salınım kayboluyor, ancak dalga artık yansıtmıyor !? Nedenini anlamadım$D=1$

Çözdüğünüz denklem doğru çözümlere izin vermiyor, bu nedenle bu denklem için yansıtıcı bir sınır koşulu gibi bir şey yoktur . Özellikleri göz önünde bulundurursanız, yalnızca doğru sınırda bir sınır koşulu uygulayabileceğinizi fark edeceksiniz. Sol sınırda, matematiksel olarak geçersiz olan homojen bir Dirichlet sınır koşulu getirmeye çalışıyorsunuz.

Yinelemek için: karakteristiklerin yöntemi, çözeltinin herhangi bir sabit için şeklindeki herhangi bir satır boyunca sabit olması gerektiğini söyler . Bu nedenle, sol sınır boyunca çözüm, sorun alanınızın içinde daha önceki zamanlarda çözüm tarafından belirlenir; orada bir çözüm empoze edemezsiniz.$x-\nu t = C$$C$

Denklemin farklı olarak, sayısal şema yok sağ gidiş çözümler itiraf. Doğru gidiş modları parazitik modlar olarak adlandırılır ve çok yüksek frekansları içerir. Doğru giden dalganın, şebekenizde temsil edilebilecek en yüksek frekanslarla ilişkili olan testere dişi bir dalga paketi olduğuna dikkat edin. Bu dalga tamamen kendi takdirinize bağlı olarak yaratılan sayısal bir eserdir.

Vurgulamak için: çözmeye çalıştığınız başlangıç-sınır değer probleminin tamamını yazmadınız. Bunu yaparsanız, matematiksel olarak iyi pozlanmış bir sorun olmadığı açık olacaktır.

Yine de bunu buraya gönderdiğinize sevindim, çünkü iyi olmayan bir problemi ve parazitik modlar fenomenini gizlice gördüğünüzde neler olabileceğinin güzel bir örneği. Sorunuz için benden büyük bir +1.

Yukarıdaki cevaplardan çok şey öğrendim. Bu cevabı dahil etmek istiyorum çünkü sorunun farklı görüşler ortaya koyduğuna inanıyorum.

Denklemini göz önüne alalım sabit dalga hızı ile .

Başlangıç ​​ve sınır koşulları olmadan bu denklem, biçiminde bir çözüme sahiptir . (sağa hareket eden bir darbe)$u(x,t)=f(x-ct)$

Biz bir başlangıç konumuna empoze ise , o zaman aralığı denklemin çözeltisi olup . Sınır yok ve çözüm bu.$u(x,t_0)=p(x)$$x \in (-\infty, \infty)$$p[x-c(t-t_0)]$

Şimdi, tüm bilgisayarlar sınırlı belleğe sahip olduktan sonra sınırlı bir etki alanı tanımladığımızı varsayalım . O zaman ve değerleri belirtmemiz gerekir , aksi takdirde hesaplama olarak sıkışıp kaldık.$x \in [a,b]$$a$$b$

Sınır koşullarını tanımlamanın bir yolu, sol sınırdaki Dirichlet ve yayılan çözelti ile tutarlı bir koşul kullanmaktır. Yani tanımlayabiliriz (başlangıç ​​zamanı ) $t_0$

Bu, sağ kenarda kaybolana kadar sağa doğru giden bir darbe üretir.

Sol sınırdaki Dirichlet'teki animasyon için buraya tıklayın

Hala anlayamadığım bazı sesler alıyorum (burada herhangi biri yardım edebilir mi?)

Diğer seçenek, periyodik sınır koşullarını empoze etmektir. Soldaki Dirichlet sınır koşulunu koymak yerine, soldaki sınırla tutarlı olan dalga paketini dayatabiliriz. Yani:

Ancak için ve , ve aralık içindeki verileri koymak gerekir çünkü biz bir ekleme uzunluğu "dönem" ve daha sonra bulmak , böylece soldaki durum (aynı!) olur ve üzerinde bir puls çıkacaktır sağ ve sola girerek.$a-c(t-t_0) <a$$t>t_0$$c>0$$[a,b]$$b-a$$a-c(t-t_0)+b-a=a+b(t-t_0)$$u(a,t_0)=p[b-c(t-t_0]$

Bu bağlantı , periyodik sınır koşulları olarak adlandıracağımı gösterir.

Animasyonları python ile yaptım ve şema, soruda belirtildiği gibi bir Crank-Nicholson şemasıdır.

Dalga ilk (sağ) sınıra girdikten sonra hala gürültü modeliyle mücadele ediyorum.