Parabolik PDE'leri çözmenin çeşitli yöntemlerinin kararlılık özellikleri için iyi bir referans nerede bulabilirim?

Şu anda Crank-Nicholson algoritmasını kullanan bir kod var, ama ben timestepping için daha yüksek dereceli bir algoritmaya geçmek istiyorum düşünüyorum. Çalışmak istediğim alanda Crank-Nicholson algoritmasının kararlı olduğunu biliyorum, ancak diğer bazı algoritmaların olmayabileceğinden endişeliyim.

Bir algoritmanın kararlılık bölgesinin nasıl hesaplanacağını biliyorum, ama bu bir tür acı olabilir. Parabolik PDE'ler için çok sayıda zaman aşımı algoritmasının stabilite özellikleri için iyi bir referans bilen var mı?

Benim kişisel favorim John Strikwerda'nın "Sonlu Fark Şemaları ve Kısmi Diferansiyel Denklemler" adlı kitabı .

Fourier analizini kullanarak kararlılık teorisini gerçekten çok iyi tedavi ediyor. Sadece ilk baskısı var, burada bir istikrar bölgesi fikrini sunmuyor. SIAM web sitesine göre, ikinci baskı bu materyali ekledi.

Çok kısa cevap: kapsamlı bir referans için, Hairer ve Wanner cilt II'yi yenemezsiniz .

Kısa cevap: Burada , katsayılar göz önüne alındığında, doğrusal çok aşamalı veya Runge-Kutta yönteminin kararlılık bölgesini çizmek için bazı MATLAB komut dosyaları verilmiştir. Python paket düğümünü de kullanabilirsiniz (feragatname: bu benim paketim ve en parlak yazılım parçası değil, ancak kararlılık bölgelerini çizmek çok iyi yaptığı bir şey). Kararlılık bölgelerinin çizilmesine ilişkin talimatlar burada .

Daha uzun cevap: Burada ilginizi çekebilecek üç yöntem sınıfı vardır.

• $A$$A$-istikrar. Bu tür yöntemlerin bazı örnekleri Gauss-Legendre, Radau ve Lobatto yöntemleridir. Bunların hepsi tamamen örtülüdür ve bu nedenle oldukça pahalıdır.

• $A(\alpha)$ode15s()$\alpha$

• Gerekli olacak açık yöntemler , negatif gerçek eksen üzerinde sadece sonlu bir aralığı içerir . Büyük negatif gerçek eksen stabilite bölgelerine sahip olan ve hafif sert problemler için uygun olan, ancak genellikle parabolik problemler için uygun olmayan özel "stabilize" açık yöntemler (özellikle Runge-Kutta-Chebyshev yöntemleri ) vardır. Literatürde için iyi bir girişinde bu kağıt stabilite bölgeleri hakkında pek çok bilgi içeren,.

$L$$L$

Güncelleme : Bu konuyla ilgili her şeyi gerçekten bilmeniz gerekiyorsa, Dekker ve Verwer'ın monografisinin bir kopyasını alın . Tek taraflı Lipschitz sabitleri, logaritmik norm ve daha derin kararlılık kavramları gibi mevcut en iyi tanıtımlardan birine sahiptir. Baskısı tükenmiş ancak genellikle kullanılmış kopyaları Amazon'da bulabilirsiniz (bir fiyat için!)