Türevlerle Sayısal Çeyreklik

19

Kareleme için en sayısal yöntemler integrali kara kutu işlevi olarak görür. Daha fazla bilgimiz varsa ne olur? Özellikle, eğer varsa, integralin ilk birkaç türevini bilmekten ne fayda sağlayabiliriz? Başka hangi bilgiler değerli olabilir?

Özellikle türevler için: temel kareleme için hata tahminleri (dikdörtgen / trapzoid / simpson kuralları) yakından ilişkilidir. Belki de dinamik uyarlanabilirliğe güvenmek yerine örnekleme çözünürlüğünü önceden seçmenin bir yolu var mı?

Hem tek değişkenli hem de çok boyutlu durumla ilgileniyorum.

quadrature error-estimation

— MRocklin
kaynak

3

Sadece küçük bir düzeltme: Dikdörtgen, yamuk ve Simpson kuralı Gauss quadratures değil Newton-Cotes tipi kurallardır.

— Pedro

20

Bence bu aklınızdaki şey değil, ama tamlık uğruna bazı temel bilgilerle başlayalım. Newton-Cotes ve Gauss gibi çoğu kareleme formülü, bir işlevin integralini yaklaşık olarak değerlendirmek için, işleve, örneğin tam olarak entegre edebileceğiniz bir polinom ile yaklaşık olarak yaklaşabileceğiniz fikrine dayanır:

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} c_{j} p_{j} (x) d x = \sum_{j} c_{j} \int_{a}^{b} p_{j} (x) d x .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j c_j p_j(x)\,dx = \sum_j c_j\int_a^b p_j(x) \,dx.$

Newton-Cotes ve Gauss, Lagrange enterpolasyonunu temel alır , yani verilen işlevi düğümleri (Newton-Cotes için eşit aralıklarla yerleştirilen ve Gauss için belirli bir anlamda en uygun şekilde seçilen) bir dizi düğümde değerlerini kullanarak enterpolasyon yaparsınız . Bu durumda, ve polinom düğüm temel fonksiyonlarının üzerindeki integralleri tam olarak dördün ağırlıklarıdır. $x_j$ $c_j = f(x_j)$ $p_j$

Aynı yaklaşım Hermite enterpolasyonu ile , yani bir fonksiyonun değerlerini ve türevlerini bir dizi düğümde belirli bir sıraya kadar kullanarak enterpolasyon ile çalışır . Sadece fonksiyon ve sadece ilk türev değerleri söz konusu olduğunda, (Nasıl çalıştığını görmek istiyorsanız,bunun birMatlab uygulamasıvardır.)

\int_{a}^{b} f (x) d x \approx \int_{a}^{b} \sum_{j} f (x_{j}) p_{j} (x) + f^{'} (x_{j}) q_{j} (x) d x = \sum_{j} f (x_{j}) w_{j} + f^{'} (x_{j}) {\bar{w}}_{j} .

$\int_a^b f(x) \,dx \approx \int_a^b \sum_j f(x_j) p_j(x) + f'(x_j) q_j(x)\,dx = \sum_j f(x_j) w_j+f'(x_j) \bar w_j.$

Bu, Gauss-Legendre kareleme denilen bir Gauss quadrature varyantı ile ilgilidir, burada düğümler ağırlıkları yok etmek için seçilir (bu, düğümlü Gauss quadrature'ın sırasının tam olduğu gerçeği için başka bir açıklamadır ). Bunun en azından kısmen ikinci paragrafta sorunuza cevap verdiğini düşünüyorum. Bu nedenle, aynı sayıda nokta ile aynı sırayı aldığınız, ancak türev bilgisine ihtiyaç duymadığınız için genellikle Hermite enterpolasyonu yerine Gauss kareleme kullanılır. $\bar w_j$ $N$ $2N-1$

Çok boyutlu kareleme için, değerlendirmeniz gereken türevlerin sayısının (karışık türevler dahil), sipariş arttıkça çok hızlı büyüdüğü sorunuyla karşı karşıya kalırsınız.

Sorunuza geri dönme: Türev bilgilerinden yararlanmanın basit bir yolu, entegrasyon alanınızın bir alt bölümünü kullanmak ve her bir bölüm için ayrı bir kareleme kullanmak olacaktır. Alan adınızın bazı bölümlerinde işlevinizin türevlerinin büyük olduğunu biliyorsanız, daha küçük alan adlarını (aslında bir özetlenmiş kareleme formülü) veya daha yüksek kareleme sırasını kullanırsınız. Bu, sonlu elemanlar yöntemlerinde sırasıyla h- ve p-uyarlanabilirliği ile ilgilidir .

— Hıristiyan Sınıfı
kaynak

6

Uç noktaların türevlerini çağıran bir dizi "düzeltilmiş" entegrasyon kuralı vardır. Basit bir örnek düzeltilmiş trapezoidal kuraldır. İntegrale yaklaşık olarak yaklaşmak istediğimizi varsayalım

\int_{a}^{b} f (x) d x .

$\int_a^bf(x)\,dx.$

bir tamsayı olsun ve . Sonra yamuk kuralı $n$ $h=(b-a)/n$

T = \frac{h}{2} (f (a) + 2 f (a + h) + 2 f (a + 2 h) + \dots + 2 f (a + (n - 1) h) + f (b))

$T = \frac{h}{2}\bigl(f(a)+2f(a+h)+2f(a+2h)+\cdots+2f(a+(n-1)h)+f(b)\bigr)$

emri, hata ile ayrılmaz için basit bir yaklaşım sağlar . Ancak, "düzeltilmiş" yamuk kuralı: $h^2$

T^{'} = T - \frac{h^{2}}{12} (f^{'} (b) - f^{'} (a))

$T'=T-\frac{h^2}{12}\bigl(f'(b)-f'(a)\bigr)$

doğruluğu büyük ölçüde artırır. Örneğin,

I = \int_{0}^{1} e^{- x^{2}} d x

$I=\int_0^1 e^{-x^2}\,dx$

ve seçin . Tam değeri , 14 ondalık haneye kadar olan $n=8$ $I$

0.74682413281243

$0.74682413281243$

Ve değerleri ve vardır $T$ $T'$

0.7458656148457, 0.74682363422375

$0.7458656148457,\quad 0.74682363422375$

sırasıyla. Hatalar

| I - T | = 9.5851796673207534 \times 10^{- 4}

$|I-T|=9.5851796673207534 \times 10^{-4}$

ve

| I - T^{'} | = 4.9858868145236102 \times 10^{- 7}

$|I-T'|=4.9858868145236102 \times 10^{-7}$

doğrulukta kayda değer bir artış gösterir. Daha yüksek türevleri içeren veya diğer Newton-Cotes kurallarından veya Gauss tipi kurallardan başlayarak başka düzeltmeler de vardır.

— Alasdair
kaynak

5

Apart Newton Cotes dayalı yöntemlerin artık ne denir, orada diğer yanıtlar sözü Gauss-Turan dördün (bkz mesela bu ve bu gibi saygıdeğer referans Walter Gautschi yoluyla). Bu, her zamanki Gauss dördünlüğünün genelleştirilmesidir, burada artık bir fonksiyonun türevlerinin bilgisini, form entegre eden bir kuadrat kuralı veren optimal bir apsis ve ağırlık seti bulmada kullanabilir. $\text{polynomial}\times\text{weight function}$ kesinlikle. Beklendiği gibi, bu kuralı kullanmak için, birisinin işlevinizi ve türevlerini rastgele gerçek noktalarda değerlendirebilmesi beklenmektedir. Her zamanki yerlerde yapılan bir arama birkaç referans daha gösterebilmelidir.

— JM
kaynak

4

Bu konu oldukça eski olmasına rağmen, bazı yaygın kareleme kurallarının genelleştirilmesi için hakemli bir makaleye başvurmanın yararlı olabileceğini düşündüm.

Nenad Ujevic, "Değiştirilmiş Simpson kural ve hata sınırlarının genelleştirilmesi", ANZIAM Journal, Vol. 47, 2005.

http://journal.austms.org.au/ojs/index.php/ANZIAMJ/article/view/2/1268

Serbestçe erişilebilen ve diğer makalelere atıflar olan iyi bir referans vermenin yararlı olacağını düşündüm.

Alasdair'in yukarıda belirtildiği gibi, uç noktaların türevlerini dahil etmek, doğruluğu önemli ölçüde artırabilir. Örneğin, Ujevic ve Roberts, Simpson Kuralına ilk türevler eklemenin hatayı ızgara aralığında 6. sıraya düşürdüğünü, buna karşılık türevler olmadan 4. sırada olduğunu gösterdi. Ujeviç makalesi daha sıkı hata sınırlarının bile bulunabileceğini gösteriyor.

N. Ujevic ve AJ Roberts, Düzeltilmiş bir dörtlü formül ve uygulamaları, ANZIAM J., 45 (E), (2004), E41 – E56. http://anziamj.austms.org.au/V45/E051

(Christian Clason verdiğim bir yorumu cevaba taşımamı önerdi çünkü verdiğim referansların iyi olduğunu düşündüler ve yorumlar bir aşamada temizlenirse kaybolabilirler.)

— Lysistrata
kaynak

Makalede sunulan sonuçlar hakkında yorum yapabilir misiniz?

— nicoguaro

Artık yeterli rep puanım var! Serbestçe erişilebilen ve diğer makalelere atıflar olan iyi bir referans vermenin yararlı olacağını düşündüm. Alasdair'in yukarıda belirtildiği gibi, uç noktaların türevlerini dahil etmek, doğruluğu önemli ölçüde artırabilir. Örneğin, bağlandığım makalenin 6. başvurusunda, Roberts ve Ujeviç, Simpson Kuralına ilk türevlerin eklenmesinin hatayı ızgara aralığında 6. sıraya düşürdüğünü, buna karşılık türevsiz 4. sıra olduğunu gösterdi. Ujeviç makalesi daha sıkı hata sınırlarının bile bulunabileceğini gösteriyor.

— Lysistrata

1

@Lysistrata Güzel bir referans. Yorumlarınızı cevabın kendisinde düzenleyebilir misiniz? Yorumlar gidebilir ve onları kaybetmek üzücü olur.

— Christian Clason