Referans istek: PDE ve ODE için algoritmaların titizlikle analizi

Sayısal PDE ve ODE konusunda kitap referansları, özellikle profesyonel matematikçiler için yazılmış bir şekilde bu tür yöntemlerin titiz bir analizi ile ilgileniyorum. Yüzlerce veya binlerce farklı yöntemi listeleme anlamında son derece kapsamlı olmak zorunda değildir, ancak en azından modern teknikleri yönlendiren anahtar kavramların çoğunu kapsayan bir şeyle ilgileneceğim.

Sanırım daha tanıdık olduğum sayısal doğrusal cebir üzerine ders kitaplarına benzetmeler yapmak uygun olur. Higham'ın Sayısal Algoritmaların Doğruluğu ve Kararlılığı, sayısal doğrusal cebirdeki kararlılık ve yuvarlama hataları ve sayısal ODE ve PDE'deki modern teknikleri Golub'un tartıştığı bir şey olarak sayısal diferansiyel denklemlerde kararlılık ve kesme hatalarına yönelik bir şey arıyorum ve Van Loan'ın Matris Hesaplamaları , doğrusal cebir için temel teknik türlerinin çoğunu tartışır.

Aslında sayısal ODE ve PDE hakkında çok az şey biliyorum. Bazı çevrimiçi notları okudum ve açık ve net bir kitap ama amacım için yeterince derin olmayan Randall LeVeque'nin Adi ve Kısmi Diferansiyel denklemler için Sonlu Fark Metodları kitabım var . Aradığım seviyenin daha somut bir örneği olarak, eliptik ve parabolik denklemler üzerindeki herhangi bir bölümün, okuyucunun Sobolev uzayları ve onların düğünleri teorisine tam olarak aşina olduğunu ve PDE için zayıf çözümleri olduğunu varsayar ve sonuçları kullanır. bu teoriden sonlu elemanlar vb. için hata tahminlerinin türetilmesinde oldukça serbesttir.

PDE için tüm önemli yöntemlerin analizini sistematik olarak kapsayan bir referans bulamazsınız. PDE için ayrıklaştırma teknikleri alanı, en azından yukarıda bahsettiğiniz iki konudan daha büyük bir büyüklük sırasıdır. Örtük çözümlerle ilgili herhangi bir yöntem için, çözüm yöntemlerini de dikkate almadan (örneğin, ilişkili çoklu-enerji yöntemleri) ayrıklaştırmaları incelemek, kendinizi "umutsuzca pratik olmayan" köşeye boyamanın denenmiş ve gerçek bir yoludur.

Muhtemelen , Sonlu Elemanlar Yöntemlerinin Matematiksel Teorisi Brenner ve Scott'ı tanıyorsunuz . Lisansüstü düzeydeki bir metindir ve giriş meselesinden pay almasına rağmen, önemli sonuçlara hızlı bir şekilde ulaşabilirsiniz.

İçin sonradan FEM hata analizi, iyi bir kaynak belge, olan Ainsworth ve Öden, sonlu elemanlar analizinde bir posteriori hata tahmini , 1997 .

Sonlu hacim yöntemleri için, Acta Numerica kağıt Morton ve Sonar, Hiperbolik koruma yasaları için Sonlu hacim yöntemleri , 2007'yi beğenebilirsiniz . Acta Numerica makaleleri ilerledikçe, bu çok ileri sürülmemektedir. Bunun kısmen LeVeque'nin kitabının çok iyi olması ve kitabını kullanmayan uygulayıcıların çoğunun orijinal kaynakların çoğuna aşina olmalarından şüpheleniyorum. Buna aşina olmasam da, Hiperbolik Koruma Yasaları için Sonlu Hacim Yöntemlerinin Doğrusal Olmayan Kararlılığı Bouchut'a da bakabilirsiniz .

Jed'in, çözücülerle aynı zamanda çözücüler olarak düşünmenin önemine değiniyorum. Bu, "daha saf" matematikçiler, bazen yanlış problemleri çözdükleri için, zararlarının çoğunu yapamayacakları bir şeydir . Blok yapısı, esneklik paterni ve önkoşul oluşturma becerisi gibi şeyler, serbestlik derecesi / ağ boyutu gibi basit şeylerden çok daha önemli olma eğilimindedir.

Brezzi & Fortin - "Karışık ve Hibrit Sonlu Elemanlar Metotları" Brenner ve Scott'ı tamamlayan materyalleri kapsar. Yine de basılı değil ve insanlar gerçekten kopyalarına asılıyor, bu yüzden birkaç yüz dolar ödemek istemiyorsanız, muhtemelen kitaplığınızdan ödünç almanız gerekir.

Rannacher ve arkadaşlarının 2000'li yılların başlarında, "Sonlu Elemanlar Yöntemlerinde Posteriori Hata Tahminine Optimal Kontrol Yaklaşımı" gibi bir dizi makale Ainsworth ve Oden's (bence) kitap.

Sobolev uzayları PDE'ler için hepsi bir arada fonksiyon alanı değildir, ancak bu izlenimi Evans gibi tanıtım kitaplarını okuyarak alabilirsiniz. Besov uzayları daha genel ve oldukça güzeldir ve sizi, salınım, entegrasyon ve çok ölçekli yapı üzerinde kısıtlamalar sağlamak için temel yapı taşlarını kontrol ederek belirli fonksiyon alanlarının nasıl ve neden inşa edildiğini düşünmeye zorlar. İşlev alanları konusunda güzel bir "felsefi" makale Terry Tao'nun buradaki görevidir . Triebel'in kitabı (esas olarak Besov uzayları hakkında), "Fonksiyon Uzayları Teorisi II" , harika! Besov uzayları ve dalgacıklar arasında derin bir bağlantı vardır, bu nedenle DeVore'un dalgacıklarla ilgili çok okunabilir makalesi yararlıdır.

Jed'in harika önerilerine ek olarak (Brenner + Scott'a büyük bir intro sonlu elemanlar kitabı olarak şahsen kefil edebilirim), ODE'lerin sayısal çözümü için mükemmel bir kitap Kasap:

http://books.google.com/books/about/Numerical_Methods_for_Ordinary_Different.html?id=opd2NkBmMxsC

Üniversite kütüphanem hatırlanana kadar bu benim için iyi bir zamandı.

Ayrıca, hassas matematikten zaten memnunsanız, Ern + Guermond'un değerli bir kitap olduğunu görebilirsiniz.

http://books.google.com/books/about/Theory_and_Practice_of_Finite_Elements.html?id=CCjm79FbJbcC

Ern + Guermond'dan birkaç makale okuduktan sonra kesinlikle ağır formalizme eğilimli olduklarını söyleyebilirim. Bölümler az çok kendi kendine yeten modulo tanımını almak için etrafında çevirmek gerekebilir bazı gösterim vardır.

PDE'ler için, Ern ve Guermond ile benzer fonksiyonel-analitik lezzete sahip bir kitap D. Braess, Sonlu Elemanlar , Cambridge University Press, 2007'dir . Bir araştırma monografı yerine bir ders kitabı olduğundan, daha az kapsamlı olmasına rağmen daha erişilebilirdir. Öte yandan, uygulamaları da tartışmaktadır (esas olarak esneklik).

ODE'lerle ilgili olarak, İncil'in hala Hairer ve Wanner'ın üç boyutlu çalışması olduğuna inanıyorum (ODE'leri Çözme I , ODE'leri Çözme II ve Geometrik Sayısal Entegrasyon ).

Son olarak, internette bulunan birçok mükemmel ders notunu göz ardı etmeyin.