Doğrusal olmayan bir reaksiyon terimi ile bir difüzyon denklemi için olası sayısal şemalar nelerdir?

Bazı basit dışbükey alanı için 2D, bazı sahip aşağıdaki denklem tatmin belirli Dirichlet ve / veya Neumann sınır koşulları. Bildiğim kadarıyla, Newton yöntemini sonlu bir eleman uzayda uygulamak, bu denklemi sayısal olarak çözmek için nispeten basit bir yol olacaktır. $\Omega$ $u(x)$

- d i v (A \nabla u) + c u^{n} = f

$-\mathrm{div}(A\nabla u)+cu^n = f$

Sorularım: (1) Bu denklemin karşılık gelen varyasyonel formülasyonunun sıfır Dirichlet sınır koşulu olduğunu varsayarak iyi pozlanması için bir Sobolev teorisi var mı? Eğer öyleyse, hangi Banach alanını düşünmeliyiz? (2) Bu tür bir denklem için olası sayısal yaklaşımlar nelerdir?

pde finite-element

— Shuhao Cao
kaynak

"Olası sayısal yaklaşımlar" ile, ayrıklaştırma veya cebirsel çözücüler mi istiyorsunuz?

— Jed Brown

İki yaklaşım görüyorum:

1) Keyfi f (u). Sadece denklemin sağ tarafına f ~ f (u0) koyun, herhangi bir doğrusal olmayan çözücü ile devam edin, sabit nokta şeması iyi bir seçimdir, çünkü yine de Jacobian'ınız yok. Uygulanması ve kullanımı en kolay, en genel, ancak muhtemelen daha düşük performans, çünkü Jacobian sömürülemez (genellikle bilinmemektedir).

2) f (u) seri halinde ayrıştırılır (polinom, Fourier). Uygulaması ve kullanımı daha zor, bazı özel f için zor / imkansız olabilir f. Ancak karşılığında Jacobian'ı Newton'a benzer bir yöntemle hesaplayabilir ve kullanabilirsiniz, bu da genellikle üstün performansa neden olur.

— Dominik Lark
kaynak

f

$f$

u

$u$

u^{n}

$u^n$

F'ye u ^ n eklemelisiniz. Daha sonra reaksiyon teriminin en iyi yaklaşım 2) ile tedavi edilen basit bir polinom formuna sahipsiniz.

— Dominik Lark