Neumann problemlerini çözen ve seviyelerden bağımsız bir yakınsama hızına sahip olan bir çoklu-manyetik algoritma var mı?

Multigrid yöntemler genellikle Dirichlet problemlerini seviyelerde çözer (örn. Nokta Jacobi veya Gauss-Seidel). Sürekli sonlu elemanlar yöntemlerini kullanırken, küçük Neumann problemlerini birleştirmek, küçük Dirichlet problemlerini birleştirmekten çok daha ucuzdur. BDDC gibi çakışmayan alan ayrıştırma yöntemleri (FETI-DP gibi), seviyelerde "sabitlenmiş" Neumann problemlerini çözen çoklu ızgara yöntemleri olarak yorumlanabilir. Ne yazık ki, çok düzeyli BDDC için koşul numarası şu şekilde ölçeklenir:

C {(1 + \log (\frac{H}{h}))}^{2 L}

$C \left(1 + \log \left(\frac{H}{h}\right)\right)^{2L}$

burada , seviye sayısıdır ve , kabalaşma oranıdır. Buna karşılık, Dirichlet problemlerine dayanan düzleştiricilere sahip çoklu-ızgara yöntemlerinin koşul sayısı, seviye sayısından bağımsız bir koşul numarasına sahiptir. $L$ $H/h$

Seviye bağımsızlığını kaybetmeden "sabitlenmiş" Neumann problemlerini çözmenin bir yolu var mı?

pde multigrid

— Jed Kahve
kaynak

Not: Bu, burada bir meydan okuma olarak yayınlanan açık bir araştırma sorusudur, çünkü bu alanda çalışan analistlerin çoğu tarafından göz ardı edilen pratik bir endişedir.

— Jed Brown

En azından DD bağlamında olduğu gibi aynı rolü almasını bekliyorsanız, çok dilli bir bağlamda "Sabitlenmiş Neumann" bloğuna tam olarak eşdeğer olanın ne olduğunu söylemek zor. Bunun ne olabileceğine dair düşüncelerinizi ayrıntılandırabilir misiniz?

— Peter Brune

Bunun BDDC'den ne kadar farklı olduğundan emin değilim ve çok ayrıntılı bir şekilde analiz edilmedi, ancak daha önce okuduğumda bu ilginç görünüyordu:

Büyük ızgaralarda akışkan simülasyonu için paralel çok hücreli Poisson çözücü

— celion
kaynak

Bu makalede, yerel Dirichlet problemlerinin yapılandırılmasının doğal olduğu sonlu fark yöntemleri kullanılmaktadır. Sönümlü bir Jacobi pürüzsüz (tek noktalı Dirichlet problemleri) kullanırlar. Düşük bellektir (bu yöntem sınıfı için ortaktır) ve kademeli bir ızgara enterpolasyonu kullanır (tipik değildir). İnce bir kağıt olabilir (dikkatle okumadım), ancak bu soru için önemsizdir.

— Jed Brown