Yüksek dereceli yakınsama sağlayan çoklu fizik PDE'ler için operatör bölme yaklaşımları var mı?

16

Bir evrim PDE verildi

u_{t} = bir u + B u

$u_t = Au + Bu$

burada işe gidip gelmeyen (muhtemelen doğrusal olmayan) diferansiyel operatörler ise, ortak bir sayısal yaklaşım çözme arasında geçiş yapmaktır. $A,B$

u_{t} = bir u

$u_t = Au$

ve

u_{t} = B u .

$u_t = Bu.$

Bunun en basit uygulaması Godunov bölünmesi olarak bilinir ve 1. dereceden doğrudur. Strang bölünmesi olarak bilinen bir diğer iyi bilinen yaklaşım, 2. dereceden doğrudur. Yüksek mertebeden operatör bölme yöntemleri (veya alternatif çoklu fizik takdir yetkisi yaklaşımları) mevcut mu?

pde multiphysics operator-splitting

— David Ketcheson
kaynak

1

Terimler sert mi yoksa sert değil mi? Eğer A ve B uygulayan bir işlevi varsa veya yalnızca gelen devlet ilerletir bir algoritma var mı Do için ? Birinin sert ve birinin sert olmadığı durumda, birçok ilginç yöntem vardır.

t^{n}

$t^n$

t^{n + 1}

$t^{n+1}$

— Jed Brown

7

Bu benim anlayış oldu BCH formülü iki sigara değişmeli matrisin matris üssünü yaklaşmak için sistematik bir yol oldu.

— Matt Knepley
kaynak

Ama bu PDE gerçek olsa bile karmaşık terimlere yol açmıyor mu? İnsanlar 2. dereceden daha yüksek takdir yetkisi için kullanıyorlar mı?

— David Ketcheson

1

Hafızamdan (veya web sayfamdan) değil. Bir çok komütatöre yol açar. Kuantum birçok bedende, bu ifadeleri basitleştirmenin güzel yolları vardır.

— Matt Knepley

7

A ve B genel operatörlerini düşünürseniz ve sadece pozitif zaman adımları yapmak istiyorsanız (parabolik problemleri çözerken genellikle ihtiyacınız olan şey budur), 2'lik bir sipariş bariyeri vardır, yani herhangi bir bölme kullanarak , ikiden daha yüksek bir yakınsama oranı. Yakın tarihli bir makalede S. Blanes ve F. Casas, http://www.gicas.uji.es/Fernando/MyPapers/2005APNUM.pdf tarafından temel bir kanıt verilmiştir .

Bununla birlikte, sorununuz hakkında biraz daha fazla bilgi sahibi olmanın birkaç yolu vardır:

Denklemlerinizi zaman içinde geriye doğru çözebileceğinizi varsayın (örneğin Schrödinger denklemleri için yaygındır), o zaman birçok bölme vardır, Hairer, Lubich ve Wanner'ın "Geometrik Sayısal Entegrasyon" kitabına bakın.
Operatörleriniz analitik yarıgruplar oluşturuyorsa, yani, t için karmaşık değerler ekleyebilirsiniz (parabolik denklemler için tipik), son zamanlarda karmaşık düzleme giderek daha yüksek dereceli bölünmeler elde edebileceğiniz görülmüştür. Bu yöndeki ilk makaleler E. Hansen ve A. Ostermann, http://www.maths.lth.se/na/staff/eskil/dataEskil/articles/Complex.pdf ve F. Castella, P. Chartier tarafından yazılmıştır. , S. Descombes ve G. Vilmart. Bir anlamda "optimal" olan karmaşık bölmelerin seçimi, mevcut araştırmanın bir konusudur, arxiv hakkında konuyla ilgili birkaç makale bulabilirsiniz.

Özetle: Sorununuza bazı varsayımlar koyarsanız, bir şeyler alabilirsiniz, ancak değilse, sipariş 2 maksimumdur.

Not: Spam önleme nedeniyle Castella et al-paper bağlantısını almak zorunda kaldım, ancak google'da kolayca bulabilirsiniz.

— Philipp Dörsek
kaynak

5

CCSE LBNL de grup son kompleks kimyası ile düşük Mach sayısı akışında spektral Ertelenmiş Düzeltme (SDC) yöntemlerini kullanmışlardır. SDC sonuçlarını Strang bölünmesi ile karşılaştırırlar ve sonuçlar çok umut vericidir.

İşte ayrıntıları içeren bir taslak kağıt: Karmaşık Kimya ile Düşük Mach Sayısı Akışı için Ertelenmiş Düzeltme Birleştirme Stratejisi

SDC şemasının, yüksek dereceli doğru bir kollokasyon çözümüne dönüşen yinelemeli bir şema olduğunu, ancak birinci dereceden yöntemlerden oluşturulduğunu unutmayın.

— Matthew Emmett
kaynak

2

Bölme hatası, en azından prensipte, spektral ertelenmiş düzeltme yöntemleri ile azaltılabilir. Bununla birlikte, bu aktif bir araştırma alanı gibi görünüyor ve genel kullanıma hazır bir şey değil.

— Brian
kaynak

2

Birkaçını listeleyen yüksek dereceli bölme şemaları için yeni bir kaynak burada bulunabilir:

http://www.asc.tuwien.ac.at/~winfried/splitting/

— David Ketcheson
kaynak