Sonlu Elemanlar Yöntemi için Kısmi Diferansiyel Denklemin Zayıf Formülasyonu Nasıl Türetilir?

'Zayıf bir formülasyon' hakkında sofistike bir anlayışı vurgulamayan Sonlu Elemanlar Yöntemine temel bir giriş yaptım. Galerkin yöntemiyle, (eliptik) PDE'nin her iki tarafını bir test fonksiyonu ile çarpıp daha sonra bütünleştirdiğimizi (parçalar veya Diverjans teoremi ile) anlıyorum. Bazen, uygun zayıf formülasyona gelmeden önce (kitabın arkasındaki cevaba dayanarak) iki kez parçalara entegre etmem gerekiyordu. Ancak aynı kavramı diğer PDE'lere uygulamaya çalıştığımda (diyelim ki, hala zamandan bağımsızlar), formülasyonun ayrıklaştırma için uygun olduğunu fark edemiyorum. BU FORM'un doğrusal bir denklem sistemine ayrıştırılabileceğini söyleyebilecek herhangi bir 'kırmızı bayrak' var mı?

Ayrıca, uygun temel işlevler grubunu nasıl seçerim?

Kendinize şunları sorun:

İlk olarak, parçalara göre entegrasyon problemin çözülebilirliğini ve çözüm alanlarını nasıl etkiler?

İkincisi, hangi işlev alanı için uygulayabileceğiniz bir dizi alt uzay (ansatz işlevi) oluşturabilirsiniz?

Bize Poisson sorunu kabul edelim için f ∈ L 2 üzerinde, diyelim [ 0 , 1 ] homojen Dirichlet sınır koşulları,. Entegrasyonla, denklemin sol ve sağ tarafı L 2'de sınırlı fonksiyoneller olarak kabul edilebilir , örneğin ϕ ∈ L 2 için$u'' = f$$f \in L^2$$[0,1]$$L^2$$\phi \in L^2$

ve φ dönüs ümü altında, ∫ f φ d $\phi \mapsto \int u'' \phi dx$$\phi \mapsto \int f \phi dx$

Herhangi fonksiyon yana olabilir L 2 kompakt desteğiyle pürüzsüz fonksiyonları tarafından -approximated yalnızca tüm test fonksiyonları için değerlerini biliyorsanız, hem ayrılmaz işlevselleri tamamen bilinmektedir. Ancak test fonksiyonları ile parçalara göre entegrasyon yapabilir ve sol tarafı işlevselliğe dönüştürebilirsiniz.$L^2$$L^2$

$\phi \mapsto -\int u' \phi' dx$

"Ben bir test fonksiyonu atın: bu kadar Oku , onun diferansiyeli hesaplamak ve üzerinde [0,1] '-u ile entegre ve size sonuç döndürüyor." Ama işlevsel olduğu tanımlanmamıştır ve sınırlanmış L 2 Eğer keyfi bir bir diferansiyeli alamaz, çünkü L 2 fonksiyonu. Genel olarak çok garip görünebilirler.$\phi$$L^2$$L^2$

Yine bu fonksiyonel Sobolev uzayı kadar uzatılabilir olduğunu gözlemlemek ve hatta bir sınırlanmış işlevseldir H 1 0 . Verilen Yani, φ ∈ H 1 0 , kabaca değerini tahmin edilebilir ∫ - U ' φ ' d x katlarından , H 1 0 arasında -norm cp ' . Ve ayrıca, fonksiyonel φ dönüs ümü altında, ∫ f φ d x isimli, tabii ki, sadece tanımlanmamış ve sınırlanmış L $H^1$$H_0^1$$\phi \in H_0^1$$\int -u' \phi' dx$$H_0^1$$\phi'$$\phi \mapsto \int f \phi dx$$L^2$Değil, aynı zamanda tanımlanmış ve sınırlanmış .$H_0^1$

Şimdi, örneğin, herhangi bir PDE kitabında sunulduğu gibi, Lax-Milgram lemmasını uygulayabilirsiniz. Sadece işlevsel analizle de tanımlayan sonlu bir eleman kitabı, örneğin Ciarlet'in klasiği veya Braess'in yeni kitabıdır.

Lax-Milgram lemması, PDE insanlarına saf analiz için güzel bir araç sağlar, ancak amaçları için de çok yabancı araçlar kullanırlar. Yine de, bu araçlar sayısal analizler için de geçerlidir, çünkü aslında bu alanlar için bir takdir yetkisi oluşturabilirsiniz.

Örneğin, ayrık alt uzay sahip olmak için , sadece şapka fonksiyonlarını alır. Atlamaları yoktur ve parça parça ayırt edilebilirler. Diferansiyelleri parçalı sabit vektör alanıdır. Bu yapı d = 1 , 2 , 3 , 'de çalışır . . . , bu da iyidir, ancak işlevleri yalnızca bir gradyanı (yani güzel, yani kare ile bütünleşebilir) değil, aynı zamanda degradeleri de bir ıraksamaya sahip olan bir ansatz alanı ile gelebilir misiniz? (yine, kareye entegre edilebilir). Genel olarak oldukça zor.$H_0^1$$d=1,2,3,...$

Bu nedenle, genel olarak zayıf formülasyonlar oluşturmanın nedeni, Lax-Milgram lemmasını uygulamak ve işlevlerin gerçekte uygulanabileceği bir formülasyona sahip olmak istemenizdir. (Kayıt için, ne Lax- Milgram bu bağlamda son sözü konusu değildir örneğin Ansatz alanlarda son ayrıklaştırma sözcük, bakınız, örneğin, süreksiz Galerkin yöntemleri).$H_0^1$

Karışık sınır koşulları söz konusu olduğunda, doğal test alanı arama alanınızdan (analitik ortamda) farklı olabilir, ancak dağıtım teorisine başvurmadan bunu nasıl açıklayacağımı bilmiyorum, bu yüzden burada duruyorum. Umarım bu yardımcı olur.