Büyük bir matrisin durum sayısına nasıl yaklaşılır?

Büyük bir matrisin durum sayısına nasıl yaklaşabilirim? $G$, Eğer $G$ Fourier dönüşümlerinin bir kombinasyonudur $F$ (üniform olmayan veya üniform), sonlu farklar $R$ve köşegen matrisler $S$?

Matrisler çok büyüktür ve bellekte depolanmaz ve sadece fonksiyon olarak mevcuttur.

Özellikle, aşağıdaki matris var:

$G_\mu=S^HF^HFS+\mu R^HR$

Arasındaki ilişkiyi araştırmak istiyorum $\mu$ ve koşul numarası $k(G_\mu)$.

Bence bir çeşit yinelemeli yaklaşıma ihtiyaç var mı? Optimal olarak bazı MATLAB kodları mevcut olacaktır.

MATLAB bunun için "kesin" fonksiyonları bir çift var, condve rcondsonuncu koşul sayısının tersi ile dönen. Matlab yaklaşık fonksiyonu condestaşağıda daha ayrıntılı olarak açıklanmaktadır.

Çoğu zaman koşul numarası tahminleri, matris için doğrusal bir sistemin çözümünün yan ürünleri olarak üretilir, bu nedenle yine de yapmanız gereken diğer işlerde koşul numarası tahminlerini piggyback yapabilirsiniz. Tahminlerin nasıl hesaplandığına dair kısa bir açıklama için buraya bakın . Ayrıca Sandia Labs AztecOO belgeleri isteğe bağlı koşul numarası tahminlerinin yinelemeli çözümleyicilerden (Konjügat Degradeleri ile oluşturulan üç boyutlu Lanczos matrisi veya Yeniden Başlatılan GMRES'li oluşturulan Hessenburg matrisi kullanılarak) bulunduğunu belirtir (bkz. Bölüm 3.1).

Matrisleriniz "çok büyük" ve "sadece fonksiyon olarak mevcut" olduğundan, mantıksal yaklaşım, bir konjüge gradyan çözücü veya varyant üzerinde bindirme yapan bir yöntem olacaktır.

Yeni bir arXiv.org makalesi Doğrusal sistemlerin ve göreceli hata için tahmin edicilerin yinelemeli çözümlerinde durağan olmayan aşırı özdeğer yaklaşımları, böyle bir yaklaşım önermekte ve önceki literatürde birkaç atıfta bulunmaktadır.

Şimdi bakıyorum, bu forumun yakın ilişkili birtakım Soruları var (hepsi Yanıtlarla değil, Yorumları kontrol edin):

CG ile aşırı özdeğerleri tahmin edin

Çok büyük matrisler için durum sayılarının tahmini

Matlab / Octave'da büyük bir matrisin durum sayısını hesaplamak için en hızlı algoritma

MATLAB kodunun kullanılabilirliği Sorunun bir parçası olduğundan, burada condest1-norm koşul numarasını tahmin eden yerleşik bir işlev hakkında bazı bilgiler var$\|A\|_1 \|A^{-1}\|_1$. Fikir, Hager (1984) 'ten 2010 yazı ve uzantıları ile açıkça hesaplamak (bir sütunun maksimum 1-normunu bulmak) ve Degrade yöntemiyle . Ayrıca bir matrisin koşul sayısını hesaplamak veya tahmin etmek için MATLAB kütüphanesi (diğer diller de mevcuttur) John Burkardt'ın CONDITION bölümüne bakınız .$\|A\|_1$$\|A^{-1}\|_1$

Matrisiniz görünüşte Hermitiyen ve pozitif tanımlı olduğundan, belki de 2 normlu koşul sayısı daha fazla ilgi çekicidir. Bu durumda sorun, en büyük ile en küçük (mutlak) özdeğerlerin oranının tahmin edilmesine eşittir. Zorluk 1 normlu duruma biraz paraleldir, çünkü genellikle en büyük özdeğer için iyi bir tahmin kolayca elde edilebilir, ancak en küçük özdeğer değerini tahmin etmek daha zor olur.

SPD dışı (ve hatta kare olmayan) vakaları hedeflemesine rağmen, bu son arXiv.org makalesi, Güvenilir Yinelemeli Durum-Sayı Tahmini , en küçük özdeğer tahmini sorununa ve bir Krylov-alt alanının umut verici bir saldırı hattına iyi bir genel bakış sağlar SPD durumunda Konjuge Degradelere karşılık gelen yöntem (LSQR).