FFT Poisson çözücüsünün yakınsama oranı

Bir FFT Zehir çözücü için teorik yakınsama oranı nedir?

Bir Poisson denklemini : ∇ 2 V H ( x , y , z ) = - 4 π n ( x , y , z ) ve n ( x , y , z )

$$\nabla^2 V_H(x, y, z) = -4\pi n(x, y, z)$$ etki alanında[0,2]x[0,2]x[0,2]periyodik sınır koşulu ile. Bu yük yoğunluğu net nötrdür. : Çözelti ile verilir VH(x)=∫N $$n(x, y, z) = {3\over\pi} ((x-1)^2 + (y-1)^2 + (z-1)^2 - 1)$$ $[0, 2] \times [0, 2] \times [0, 2]$ buradax=(x,y,z). Karşılıklı boşlukta VH(G)=4πn(G $$V_H({\bf x}) = \int {n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 y$$ ${\bf x}=(x, y, z)$ buradaG,karşılıklı boşluk vektörlerdir. Hartree enerjisiyle ilgileniyorum: EH= $$V_H({\bf G}) = 4\pi {n({\bf G})\over G^2}$$ ${\bf G}$ bu (ayrıklaştırma sonra) olur olarak karşılıklı alanı: E, H=2ttΣG≠0 | n( G ) | $$E_H = {1\over 2} \int {n({\bf x}) n({\bf y})\over |{\bf x}-{\bf y}|} d^3 x d^3 y = {1\over 2} \int V_H({\bf x}) n({\bf x}) d^3 x$$ G=0terimi etkili bir hale getirir, yük yoğunluğu, net nötr (ve daha önce nötr olduğu, daha sonra her şey tutarlıdır) ihmal edilir. $$E_H = 2\pi \sum_{{\bf G}\ne 0} {|n({\bf G})|^2\over G^2}$$ ${\bf G}=0$

$$E_H = {128\over 35\pi} = 1.16410...$$

İşte NumPy kullanan hesaplamayı yapan bir program.

from numpy import empty, pi, meshgrid, linspace, sum
from numpy.fft import fftn, fftfreq
E_exact = 128/(35*pi)
print "Hartree Energy (exact):      %.15f" % E_exact
f = open("conv.txt", "w")
for N in range(3, 384, 10):
    print "N =", N
    L = 2.
    x1d = linspace(0, L, N)
    x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

    nr = 3 * ((x-1)**2 + (y-1)**2 + (z-1)**2 - 1) / pi
    ng = fftn(nr) / N**3

    G1d = N * fftfreq(N) * 2*pi/L
    kx, ky, kz = meshgrid(G1d, G1d, G1d)
    G2 = kx**2+ky**2+kz**2
    G2[0, 0, 0] = 1  # omit the G=0 term

    tmp = 2*pi*abs(ng)**2 / G2
    tmp[0, 0, 0] = 0  # omit the G=0 term
    E = sum(tmp) * L**3
    print "Hartree Energy (calculated): %.15f" % E
    f.write("%d %.15f\n" % (N, E))
f.close()

Ve burada bir yakınsama grafiği (sadece komplo conv.txt, yukarıdaki komut burada kendiniz oynamak istiyorsanız bunu yapan bir dizüstü bilgisayar):

Gördüğünüz gibi, yakınsama doğrusaldır, bu benim için bir sürpriz oldu, FFT'nin bundan daha hızlı birleştiğini düşündüm.

Güncelleme :

Çözümün sınırında bir tepe var (bunu daha önce fark etmedim). FFT'nin hızlı bir şekilde birleşmesi için, çözeltinin tüm türevleri pürüzsüz olması gerekir. Bu yüzden aşağıdaki sağ tarafı da denedim:

nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

$V_H=\sin(\pi x)\sin(\pi y)\sin(\pi z)$sınırsız bir şekilde ayırt edilebilir olmalıdır. Bu durumda tam integral$E_H = \frac{3\pi}{8}$. Yine de, FFT çözücü yukarıdaki komut dosyasını çalıştırarak ve yakınsama ( grafiklerle güncellenmiş not defteri ) çizilerek kontrol edilebileceği gibi, hala sadece tam olarak bu kesin çözüme doğru yakınsar .

Doğrusaldan daha hızlı yakınsama görebilmek için 3B'de herhangi bir kıyaslama yapan var mı?

Önce tüm soruları cevaplayayım:

Bir FFT Zehir çözücü için teorik yakınsama oranı nedir?

Çözüm yeterince pürüzsüz olduğu sürece teorik yakınsama üsteldir.

Bu enerji ne kadar hızlı birleşmeli?

Hartree Enerjisi $E_H$yeterince pürüzsüz bir çözüm için katlanarak birleşmelidir. Çözelti daha az pürüzsüzse, yakınsama daha yavaştır.

Doğrusaldan daha hızlı yakınsama görebilmek için 3B'de herhangi bir kıyaslama yapan var mı?

Periyodik ve sınırsız olarak farklılaşabilen bir çözüm üreten herhangi bir sağ taraf (periyodik sınırlar dahil) katlanarak birleşmelidir.

---

Yukarıdaki kodda, yakınsamanın üstelden daha yavaş olmasına neden olan bir hata vardır. Düzgün yoğunluk kodunu ( https://gist.github.com/certik/5549650/ ) kullanarak, aşağıdaki yama hatayı düzeltir:

@@ -6,7 +6,7 @@ f = open("conv.txt", "w")
 for N in range(3, 180, 10):
     print "N =", N
     L = 2.
-    x1d = linspace(0, L, N)
+    x1d = linspace(0, L, N+1)[:-1]
     x, y, z = meshgrid(x1d, x1d, x1d)

     nr = 3*pi*sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z)/4

Sorun, gerçek alan örnekleme oldu olamaz (nedeniyle periyodik sınır koşuluna aynı değere sahiptir) ilk ve son nokta tekrar. Başka bir deyişle, sorun ilk örneklemenin ayarlanmasındaydı.

Bu düzeltmeden sonra, yoğunluk Matt'in yukarıda belirttiği gibi tek bir yinelemede birleşir. Bu yüzden yakınsama grafiklerini bile çizmedim.

Bununla birlikte, daha zor bir yoğunluk denenebilir, örneğin:

     nr = 3*pi*exp(sin(pi*x)*sin(pi*y)*sin(pi*z))/4

yakınsama beklendiği gibi üsteldir. İşte bu yoğunluk için yakınsama grafikleri: