Bir pde sistemini ayırmak için sabit nokta yinelemesini kullanma

Bir sınır değer problemim olduğunu varsayalım:

\frac{d^{2} u}{d x^{2}} + \frac{d v}{d x} = f in Ω

$\frac{d^2u}{dx^2} + \frac{dv}{dx}=f \text{ in } \Omega$

\frac{d u}{d x} + \frac{d^{2} v}{d x^{2}} = g in Ω

$\frac{du}{dx} +\frac{d^2v}{dx^2} =g \text{ in } \Omega$

u = h in \partial Ω

$u=h \text{ in } \partial\Omega$

Amacım bu birleşik problemin çözümünü birbirinden bağımsız PDE'lere dönüştürmektir. Sistemi ayırmak için, yaklaşık bir dizi üzerine sabit nokta yinelemesi uyguluyorum . $(u^k,v^k)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f

$\frac{d^2u^k}{dx^2} + \frac{dv^{k-1}}{dx}=f$

\frac{d u^{k - 1}}{d x} + \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} = g

$\frac{du^{k-1}}{dx} +\frac{d^2v^k}{dx^2} =g$

Teorik olarak, bu, her iki denklemi tamamen eliptik bir PDE olarak çözmeme izin verecektir. Ancak, PDE'lere bu şekilde uygulanan sabit nokta yinelemelerini hiç görmedim. Sayısallaştırılmış denklemlere (sonlu farklar yöntemi, sonlu elemanlar yöntemi, vb.) Uygulanan sabit nokta iterasyonlarını gördüm, fakat asla doğrudan sürekli denklemlere uygulanmadı.

Bunu yaparak herhangi bir açık matematiksel prensibi ihlal ediyor muyum? Bu matematiksel olarak geçerli mi? Birleştirilmiş PDE'yi DISCRETE değişken probleminden ziyade CONTINUOUS değişken problemine uygulanan sabit nokta iterasyonunu kullanarak birbirinden ayrılmamış PDE dizisi olarak çözebilir miyim?

Bu noktada, bu yöntemi kullanmanın pratik olup olmadığıyla değil, teorik olarak akla yatkın olup olmadığıyla ilgilenmiyorum. Herhangi bir geri bildirim büyük mutluluk duyacağız!

pde iterative-method

— Paul
kaynak

Hiperbolik PDE literatüründe, fraksiyonel adım ve operatör bölme yöntemleri, yukarıda tarif ettiğiniz şeyi yapar.

— Geoff Oxberry

(u^{k}, v^{k})

$(u^k, v^k)$

(u^{k}, p^{k})

$(u^k, p^k)$

@BillBarth: Evet! Az önce düzelttim.

— Paul

@GeoffOxberry: Operatör bölünmesinin karakter olarak çok farklı olduğunu düşünüyorum.

— anonim

@Paul: "Birleştirilmiş PDE'lerin" bir sabit nokta yinelemesi yoluyla çözüldüğü (ve sadece sabit nokta problemleri olarak formüle edilmediği) en az bir başka problemi düşünebilirim: bkz. Neumann – Dirichlet yöntemi. (Buradaki fark, iki PDE'nizin olması, ancak farklı alanlarda yaşıyor olmaları ve eşleşmenin yalnızca bir arabirim yoluyla olmasıdır).

— anonim

$C^{\infty}(\Omega)\times C^{\infty}(\Omega)$

\frac{d^{2} u^{k}}{d x^{2}} + \frac{d v^{k - 1}}{d x} = f \frac{d^{2} v^{k}}{d x^{2}} + \frac{d u^{k - 1}}{d x} = g

$\frac{\text{d}^2u^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} v^{k-1}}{\text{d} x} =f\\ \frac{\text{d}^2v^k}{\text{d}x^2} + \frac{\text{d} u^{k-1}}{\text{d} x} =g\\$ (artı sınır koşulları).

Açıktır , eğer bu dizi yakınsak, bu KDDlerin orijinal kümesinin bir çözüm olacaktır.

$x^k\to x^{k+1}$ $u^0$ $v^0$

‖ (\begin{matrix} u^{k} \\ v^{k} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k} \\ {\hat{v}}^{k} \end{matrix}) ‖ \leq q ‖ (\begin{matrix} u^{k - 1} \\ v^{k - 1} \end{matrix}) - (\begin{matrix} {\hat{u}}^{k - 1} \\ {\hat{v}}^{k - 1} \end{matrix}) ‖

$\left\| \begin{pmatrix} u^k\\ v^k \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^k\\ \hat{v}^k \end{pmatrix} \right\| \le q \left\| \begin{pmatrix} u^{k-1}\\ v^{k-1} \end{pmatrix} - \begin{pmatrix} \hat{u}^{k-1}\\ \hat{v}^{k-1} \end{pmatrix} \right\|$

| q | < 1

$|q|<1$

(u^{k - 1}, v^{k - 1})

$(u^{k-1}, v^{k-1})$

({\hat{u}}^{k - 1}, {\hat{v}}^{k - 1})

$(\hat{u}^{k-1}, \hat{v}^{k-1})$

Bu mantık hem sürekli hem de ayrık alanda çalışır.

— Nico Schlömer
kaynak

olmamalı mı ?

| q | < 1

$|q|<1$

— Paul