Sonlu elemanlar ile tek başına bozulan reaksiyon difüzyon problemlerinde salınımlar

12

FEM-diskretize ve bir tepkime ile difüzyon problemi, örneğin çözerken ile (tekil bozulması), ayrık sorunun çözümü genellikle yakın sınıra salınım tabakaları sergileyecektir. İle , ve sonlu elemanlar doğrusal, çözelti oluşacağı

- ε Δ u + u = 1 on Ω u = 0 on \partial Ω

$- \varepsilon \Delta u + u = 1 \text{ on } \Omega\\ u = 0 \text{ on } \partial\Omega$

0 < ε ≪ 1

$0 < \varepsilon \ll 1$

Ω = (0, 1)

$\Omega = (0,1)$

ε = 10^{- 5}

$\varepsilon=10^{-5}$

u_{h}

$u_h$

tek başına bozulan problemin çözümü

Konveksiyondan kaynaklandıklarında (örneğin, rüzgarın takdirine bağlı olarak) bu tür istenmeyen etkiler için çok fazla literatür olduğunu görüyorum, ancak reaksiyon söz konusu olduğunda, insanlar rafine kafeslere (Shishkin, Bakhvalov) odaklanıyor gibi görünüyor.

Bu salınımlardan kaçınan, yani monotonluğu koruyan takdir yetkileri var mı? Bu bağlamda başka ne yararlı olabilir?

— Nico Schlömer
kaynak

1

Merkezi fark şeması monotonluğu koruyan bir M matrisine yol açtığı için değil mi?

— Hui Zhang

⟨ 1 ϕ_{i}, ϕ_{j} ⟩ > 0

$\langle 1 \phi_i, \phi_j\rangle > 0$

@HuiZhang Sonlu farklar (ve sonlu hacimler de) söz konusu olduğunda elbette haklısınız. Cevabı sonlu elemanlarla ilgilendiğimi daha açık bir şekilde belirleyeceğim.

— Nico Schlömer

1

Süreksiz Galerkin yöntemleri bu tür problemler için oldukça popüler hale geldi - Di Pietro ve Ern'in kitabına baktınız mı?

— Christian Clason

6

Gösterirseniz, çözümün bir sınır tabakası vardır. Ağınız çok kaba olduğu için çözemezseniz, tüm pratik konular için çözüm sayısal şema için süreksizdir.

$N$

$\varepsilon$ $h\rightarrow 0$

— Wolfgang Bangerth
kaynak

4

TL; DR: Seçenekleriniz sınırlıdır 1) doğru ve pahalı çözüm için adapte edilebilir kaba kuvvet 2) daha az doğru ancak kararlı bir çözüm için sayısal difüzyon kullanın veya (en sevdiğim) 3) bunun tekil bir pertürbasyon problemi olduğu ve çözdüğü iki ucuz iç / dış problem ve eşleşen asimtotik sihrini yapalım!

$\delta = \mathcal{O}(\sqrt{\epsilon})$

$x = \mathcal{O}(\delta)$ $\eta = x/\delta$

- Δ u_{i} + u_{i} = 1

$-\Delta u_i + u_i = 1$

$u(0) = 0$ $u_i(\eta\rightarrow\infty) = u_o(x\rightarrow0)$ $u_o$ $x = \mathcal{O}(1)$ $u$ $1$ $u_0 = 1$ kolaylıkla iç çözüm - bu durumda bile analitik olarak.

Aslında bu, günümüzde akışkanlar mekaniğinde laminer sınır tabakası problemlerini çözmek için çok popüler (ve hala) bir tekniktir. Aslında Navier-Stokes denklemlerine bakarsanız, yüksek Reynolds sayılarında, burada bahsettiğiniz gibi bir sınır katmanı (eğlenceli gerçek: pertürbasyonda "sınır katmanı" terimleri geliştiren tekil bir pertürbasyon problemiyle etkili bir şekilde karşılaşıyorsunuz. analiz aslında az önce tarif ettiğim sıvı sınır tabakası probleminden gelir).

$u_0 = 1$

— GradGuy
kaynak