Çok elektronlu zamana bağlı Schrödinger denklemini sayısal olarak çözmek neden zordur

İnsanların çok elektronlu bir sistemle başa çıkmak için genellikle Tek Aktif Elektron (SAE) yaklaşımını kullandıkları ve sorunu tek bir elektron problemine dönüştürdüğü görülmektedir. Örneğin, bir helyum atomunun lazer alanlarıyla etkileşimi sorununu sayısal olarak çözerken, insanlar yaklaşık olarak yaklaşık olarak bir potansiyel potansiyeli olan elektron-elektron etkisini içerir ve esasen bir elektron problemini çözer. Öyleyse zamana bağlı çok elektronlu Schrödinger denklemini sayısal olarak çözmek neden zor? Klasik n-vücut probleminden çok daha mı zor? Çok büyük bir klasik var gördüm$n$astronomi alanında gerçek zamanlı olarak bile sayısal olarak çözülen insan sorunu, örneğin burada gerçek zamanlı olarak 280000 parçacık etkileşimini içeren iki gökadanın çarpışmasını simüle eder.

Evet, bunu yapmak çok daha zor. İçin$N$ vücut sorunu, hesaplamak için gereken tek şey yörüngeler $\mathbf x_i(t), i=1\ldots N$ hangisi sadece $N$ tek değişkenli fonksiyonlar.

Öte yandan, tek bir elektron için bile, Schroedinger denkleminin çözümü bir işlevdir $\Psi(x,y,z,t)$, yani dört değişkenli bir fonksiyon. İki elektron için bir fonksiyon arıyorsunuz$\Psi(x_1,y_1,z_1,x_2,y_2,z_3,t)$dalga fonksiyonunu iki elektronun konumlarının artı zamanın bir fonksiyonu olarak tanımlamak. Bu yedi değişken.

Şimdi, sıradan diferansiyel denklemleri nasıl çözeceğinizi hatırlarsanız, Newton'un $N$ vücut problemi, o zaman zamanla adım adım her denklemi ileriye taşımak gerekir $t$ için $t+\Delta t$ve çözümü burada hesaplayın. Yani, zaman aralığınızı bölerseniz$[0,T]$ içine $M$ uzunluk aralıkları $\Delta t=T/M$ o zaman her adım için çaba $N^2M$ etkileşimlerinin saf bir uygulamasını kullanarak $N$ (ulaşmak için yöntemleri kullanabilirsiniz $N (\log N) M$ çaba, ama bu nokta dışında).

Öte yandan, 7 değişkenli bir fonksiyon bulmak için, zaman aralığını $M$yukarıdaki gibi, ancak 6 uzamsal koordinat için de aynısını yaparsınız. Sonra toplam$M^7$ızgara noktaları dikkate alınmalıdır. Ve genel olarak,$N$ vücut kuantum sistemi, var $M^{3N+1}$.

Küçük rakamlar için bile doğrulamak artık çok kolay $N,M$, çaba $M^{3N+1}$ çok daha büyük $N^2M$, bu da çok gövdeli kuantum hesaplamalarının neden yapmaktan çok daha pahalı olduğunu açıklıyor $N$ vücut klasik mekaniği.