Bazı PDE problemlerini sayısal olarak çözerken değişken ölçeklendirme şart mıdır?

15

Yarı iletken simülasyonunda, denklemlerin normalleştirilmiş değerlere sahip olacak şekilde ölçeklendirilmesi yaygındır. Örneğin, aşırı durumlarda yarı iletkenlerdeki elektron yoğunluğu 18 büyüklük sırasına göre değişebilir ve elektrik alanı 6 (veya daha fazla) büyüklük sırasına göre düzgün bir şekilde değişebilir.

Ancak, gazeteler bunu yapmak için hiçbir zaman gerçekten bir neden vermiyorlar. Şahsen gerçek birimlerdeki denklemlerle uğraşmaktan mutluyum, bunu yapmak için herhangi bir sayısal avantaj var mı, yoksa imkansız mı? Çift dalgalanma ile bu dalgalanmalarla başa çıkmak için yeterli basamak olacağını düşündüm.

Her iki cevap da çok faydalı, çok teşekkürler!

pde condition-number scaling

— boyfarrell
kaynak

1

"18 büyüklük sırasına göre değişebilir" - ve kaç basamakın çift kesinlikte tutulduğunu düşünürseniz, "çift kesinlik ile bu dalgalanmalarla başa çıkmak için yeterli basamak olup olmayacağını" görürsünüz ...

— JM:

1

Ve asıl sorun, bu sayıları sayısal bir algoritmaya beslediğinizde başlar:

— Kareyi

9

Bir (doğrusal) PDE'nin çözülmesi, daha sonra yakınsama (oran) matrisin durum numarasına bağlı olan doğrusal bir çözücü tarafından çözülen doğrusal bir sistem elde etmek için denklemin ayrıklaştırılmasından oluşur. Değişkenlerin ölçeklendirilmesi genellikle bu koşul sayısını azaltır ve böylece yakınsamayı artırır. (Bu temelde çapraz bir önkoşul uygulamak anlamına gelir, bkz. Nicholas Higham'ın Sayısal Algoritmaların Doğruluğu ve Kararlılığı .)

Ayrıca doğrusal olmayan PDE'lerin çözülmesi, Newton'un yöntemi gibi doğrusal olmayan denklemlerin çözülmesi için bir yöntem gerektirir, burada ölçekleme yakınsamayı da etkileyebilir.

Her şeyi normalleştirmek genellikle çok az çaba gerektirdiğinden, neredeyse her zaman iyi bir fikirdir.

— Hıristiyan Sınıfı
kaynak

Eminim @ArnoldNeumaier'in bu konuda söyleyecek daha çok şeyi var.

— Christian Clason

Kullandığım matrislerin (ölçeklendirilmemiş değişkenler) durum sayısı ~ 1.25'tir . Bu makul görünüyor mu? Bu, 2-norm yöntemi ( docs.scipy.org/doc/numpy/reference/generated/… ) kullanılarak hesaplanır .

— boyfarrell

κ_{2} = 1

$\kappa_2=1$

1

@boyfarrell: Kabul edilebilir sonuçlarla rutin olarak 10 ^ 7 kadar büyük koşul sayılarıyla çalışıyorum. Ancak, 10 ^ 9'dan daha yüksek koşul sayılarını kabul etmem.

— jvriesem

9

- ε Δ u + u = 0 on Ω, u = 1 on \partial Ω .

$-\varepsilon \Delta u + u = 0 \text{ on } \Omega,\\ u = 1 \text{ on } \partial\Omega.$

Bununla birlikte, bu zorluğu ortadan kaldıran değişkenlerin veya alanların ölçeklendirilmesi yoktur.

$u_{\alpha}$

- α^{2} Δ u = f_{α} on α Ω

$-\alpha^2\Delta u = f_\alpha \text{ on } \alpha\Omega$

α

$\alpha$

u_{1}

$u_1$

- Δ u = f on Ω .

$-\Delta u = f \text{ on } \Omega.$

u_{α} (x) := u_{1} (x / α)

$u_{\alpha}(\mathbf{x}):=u_1(\mathbf{x}/\alpha)$

α

$\alpha$

α

$\alpha$

— Nico Schlömer
kaynak

4

Ve geri kalan parametreler daha sonra çözeltinin kalitatif davranışını belirlemek için gerekli olmalıdır - bu nedenle Reynolds sayısının sıvı dinamiğinde çok önemlidir. Bu sürece Boyutsuzlaştırma denir .

— Christian Clason

Tabii ki, bu tür bir parametre eşdeğerini bulmak esas olarak PDE'nin simetri gruplarını bulma problemidir, bu genel olarak zor bir problemdir

— lurscher

2

Kayan nokta sayılarıyla uğraşmak, küçük sayıların daha büyük sayılardan çıkarılması ve diğer birçok yönüyle ilgili olabilir. John D. Cooks gibi blog yazılarını okumanızı tavsiye ederim.

Kayan Nokta Sayısının Anatomisi

Oracle'ın yanı sıra

Her Bilgisayar Bilimcisinin Kayan Noktalı Aritmetik Hakkında Bilmesi Gerekenler

Ayrıca minimizasyon veya maksimizasyon için bazı sayısal algoritmalar sayısal kararlılık için normalleştirme gerektirir.

— Phillip Nordwall
kaynak