Sabit olmayan katsayılar sonlu hacimli birinci dereceden rüzgar alma şeması ile nasıl ele alınmalıdır?

11

Koruma formundaki adveksiyon denklemi ile başlayarak.

u_{t} = (a (x) u)_{x}

$u_t = (a(x)u)_x$

burada uzaya bağlı bir hızdır ve korunan bir türün konsantrasyonudur. $a(x)$ $u$

Akının ayrıklaştırılması (burada akı , kafes noktaları arasındaki hücrelerin kenarlarında tanımlanır) $f=a(x)u$

u_{t} = \frac{1}{h} (f_{j - \frac{1}{2}} - f_{j + \frac{1}{2}})

$u_t = \frac{1}{h}\left( f_{j-{\frac{1}{2}}} - f_{j+{\frac{1}{2}}} \right)$

İlk sipariş rüzgarını kullanarak akışları yaklaşık olarak

f_{j - \frac{1}{2}} = a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} f_{j + \frac{1}{2}} = a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j}

$f_{j-{\frac{1}{2}}} = a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} \\ f_{j+{\frac{1}{2}}} = a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j}$ Bu da,

u_{t} = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - 1} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j})

$u_t = \frac{1}{h} \left( a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-1} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j} \right)$

Eğer sabit olsaydı , bu alışılmış rüzgar şemasına , yani . $a(x)$ $u_t = \frac{a}{h} \left( u_{j-1} - u_{j} \right)$

Benim sorum, adveksiyon denkleminin sabit olmayan katsayılarını nasıl tedavi edebiliriz ? Hız hücre merkezlerinde tanımlanır, bu nedenle basit bir yaklaşım aşağıdaki gibi olacaktır,

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to a (x_{j - 1}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j-1}) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j})$

Bu benim tercih ettiğim yaklaşım çünkü uygulaması çok basit.

Bununla birlikte, hücre kenarlarındaki hızı tanımlamak için ortalama bir şema da (tahmin ediyorum),

a (x_{j - \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j - 1}) + \frac{1}{2} a (x_{j}) a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to \frac{1}{2} a (x_{j}) + \frac{1}{2} a (x_{j + 1})

$a(x_{j-\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j-1} ) + \frac{1}{2}a(x_{j} ) \\ a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow \frac{1}{2}a(x_{j} ) + \frac{1}{2}a(x_{j+1} ) \\$

In Leveque kitabında diyor

Şimdiye kadar, değişken hızının j-g grid hücresi içinde sabit değeri ile belirtildiğini . Bazı durumlarda, bunun yerine her hücre arayüzünde hızının belirtildiğini varsaymak daha doğaldır . $a(x)$ $a_j$ $a_{j−{\frac{1}{2}}}$

Ancak bundan sonra çok fazla ayrıntı vermez. Ortak yaklaşım nedir?

Bir koruma problemi çözüyorum (süreklilik denklemi olarak adveksiyon denklemini kullanıyorum), bu yüzden takdir yetkisini uyguladıktan sonra koruma özelliğinin korunduğundan emin olmak istiyorum. Bu değişken katsayılarla ilgili gizli sürprizlerden kaçınmak istiyorum! Herkesin genel yorumları ve rehberliği var mı?

Güncelleme Aşağıda iki gerçekten iyi cevap var ve sadece bir tane seçebilirim :(

discretization finite-volume numerical-analysis

— boyfarrell
kaynak

4

Baktığınız tür sistemin ne bağlı olarak, hız dikkate almak daha uygun olabilir , her hücrede parçalı-sabiti olarak ya da hücre arayüzleri tanımlanır emin olabiliyoruz. Örneğin, meteorolojide, hücrelerin içindeki basıncın ve hücre arayüzlerindeki hızın tanımlanabileceği kademeli ızgaralar oldukça yaygındır. Hücrelerin içinde tanımlanan hızı kolayca düşünebilirsiniz. Hepsi söylendi: temsil seçimi, takdir yetkinizin kararlı ve tutarlı olması koşuluyla, yönteminizin yakınsamasını etkilememelidir. $a$

En önemli olan (ve sorunuzda buna zaten değinmiş olmanız), takdirsiz sistemin hala muhafazakar olmasıdır. Şemanızın formda yazılabilmesi şartıyla

$\frac{\partial u_j}{\partial t} = F_{j-\frac{1}{2}}(u_{j-1},u_j) - F_{j+\frac{1}{2}}(u_j,u_{j+1})$

o zaman muhafazakar olmalı, çünkü

. $\frac{\partial}{\partial t}\int u dx = \sum_j\frac{\partial u_j}{\partial t}\delta x = \sum_j( F_{j-\frac{1}{2}}- F_{j+\frac{1}{2}} )\delta x = (F_{-\frac{1}{2}}-F_{N+\frac{1}{2}})\delta x$

Basit yaklaşımınız iyi çalışmalıdır, hızın her zaman pozitif olması şartıyla hücre arayüzlerinde tanımlamak için hücreler arasındaki hızın ortalaması alınır. Dahası, ortalamanın size daha yüksek bir doğruluk kazandıracağını sanmıyorum, bu yüzden basit yolu tercih edebilirsiniz.

Hızı da çözüyorsanız ve bir denklem sisteminiz varsa, daha dikkatli olmanız gerekebilir. Benzer şekilde, doğrusal olmayan hiperbolik bir PDE çözüyorsanız ve akı sınırlayıcıları kullanıyorsanız, daha dikkatli olmanız gerekir.

* Bununla birlikte, bir hiperbolik PDE sistemi için, kademeli ızgaraların kullanılması yapay dispersiyon / difüzyonu önemli ölçüde iyileştirebilir. Daha fazla bilgi edinmek istiyorsanız Arakawa C-grid'lere bakın veya bu kitabın 4. bölümüne bakın .

— Daniel Shapero
kaynak

Açıkladığınız için teşekkürler. Ve sezgin doğru; Denklemlerden birinin hız (diğer değişkenlerin PDE'si) olduğu bir denklem sistemini çözüyorum. Denklemler sistemi sadece 1D'dir, belki de üstel uydurma ile uyarlanabilir bir 1. derece yukarı rüzgar yöntemi (2. derece merkezi ve yukarı rüzgar arasında çevirebilir) kullanmayı planlıyorum. Akı sınırlayıcıları kullanmıyorum, ancak sistem doğrusal değil. Bu durumda "daha dikkatli" olmam gerekir mi?

— boyfarrell

Her şey şok dalgaları ve benzerlerinin oluşmasını beklediğinize, bazı bölgelerde hızın sıfırın altına düşme olasılığı varsa veya hızın Courant-Friedrichs-Lewy koşulundan artacağınız kadar yüksek olabileceğine bağlıdır. bir noktada. Bununla birlikte, işe yarayıp yaramayacağını görmek için önce basit bir yaklaşımı deneyeceğim, ki bu iyi olabilir. Başarısız olacaksa, bunu muhteşem ve açık bir şekilde yapacaktır, bu yüzden radarınızın altında yanlış bir şey olması konusunda endişelenmeniz gerektiğini düşünmüyorum.

— Daniel Shapero

Evet, hızın yalnızca alanımın merkezinde sıfırdan farklı olmasını bekliyorum ve sonra merkezden uzaklaştıkça hızla sıfıra yaklaşıyorum. Zaman adımını seçiyorum, böylece CFL koşulu karşılanır (maksimum hız kullanılarak), ağ sabitlenir. Şok dalgası için kriterler nelerdir? Bunu görmeyi beklemiyorum (ama asla bilemezsin).

— boyfarrell

5

$a(x)$

Tutarlı olarak kastettiğim , enterpolasyonun yerine getirmesi gereken tek koşulun

a_{i + 1 / 2}^{+} = a_{i + 1 / 2}^{-}

$a_{i+1/2}^+ = a_{i+1/2}^-$

Başka bir deyişle, enterpolasyon yönteminiz hücre sınırları boyunca sürekli olduğu sürece , takdir yetkinizin muhafazakar kalması garanti edilir.

Bu, 1D'de büyük bir sorun gibi görünmeyebilir (ve olmamalıdır), ancak çok seviyeli AMR ızgaralarındaki kaba ince arayüzlerde sorunlara neden olabilir.

— GradGuy
kaynak

Tutarlılık konusunda. Hücre merkezli sonlu hacim yaklaşımı için. Eğer tepe değerlerini tahmin etmek için (örneğin) doğrusal bir enterpolasyon kullanmayı seçtiysem

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

a (x_{j + \frac{1}{2}})

$a(x_{j+\frac{1}{2}})$

a (x_{j + \frac{1}{2}}) \to a (x_{j + 1})

$a(x_{j+\frac{1}{2}}) \rightarrow a(x_{j+1})$

u_{j + \frac{1}{2}}

$u_{j+\frac{1}{2}}$

@boyfarrell Yöntemin muhafazakar olmaya devam etmesi anlamlıdır. Bununla birlikte, çözeltinin doğruluğunu etkiler. Çoğu zaman, örneğin ENO şemalarında, hız ve çözümü ayrı olarak değil, tüm akı işlevine yaklaşır.

— GradGuy

4

$a(x_{j-\frac{1}{2}})$

Bunun neden böyle olduğunu görmek için, muhafazakarın analitik tanımının

\frac{\partial}{\partial t} \int_{D} u (x) d x = \int_{\partial D} a (x) u (x) d S,

$\frac{\partial}{\partial t}\int_D u(x)\, dx = \int_{\partial D} a(x)u(x) dS,$

$D$

Bizim takdir yetkimiz formdaysa

u_{t} (x_{j}) = \frac{1}{h} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - \frac{1}{2}} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j + \frac{1}{2}})

$u_t(x_j) = \frac{1}{h}\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right)$

$x_1,\ldots, x_n$ $D = [c,d]$ $c = x_{\frac{1}{2}}$ $d = x_{n+\frac{1}{2}}$

\frac{1}{h} \sum_{j = 1}^{n} (a (x_{j - \frac{1}{2}}) u_{j - \frac{1}{2}} - a (x_{j + \frac{1}{2}}) u_{j + \frac{1}{2}}) = a (x_{\frac{1}{2}}) u_{\frac{1}{2}} - a (x_{n + \frac{1}{2}}) u_{n + \frac{1}{2}},

$\frac{1}{h}\sum_{j=1}^n\left(a(x_{j-\frac{1}{2}})u_{j-\frac{1}{2}} - a(x_{j+\frac{1}{2}})u_{j+\frac{1}{2}}\right) = a(x_{\frac{1}{2}})u_{\frac{1}{2}} - a(x_{n+\frac{1}{2}})u_{n+\frac{1}{2}},$

$u_{j-\frac{1}{2}} = u_{j-1}$ $u_{j+\frac{1}{2}} = u_j$ $a(x)u$

$a(x)$ $a(x_{j-r}), \ldots, a(x_{j+s})$ $a(x_{j-\frac{1}{2}})$

— Ben
kaynak