Hareketli ağ oluşturmanın arkasındaki temel ilkeler nelerdir?

Bir difüzyon-difüzyon problemi için hareketli bir ağ uygulamakla ilgileniyorum. Uyarlanabilir Hareketli Mesh Yöntemleri , bunun sonlu farklar kullanarak 1D'deki Burger denklemi için nasıl yapılacağına iyi bir örnek verir. Birisi, hareketli bir ağ ile sonlu farklar kullanarak 1D adveksiyon-difüzyon denklemini çözme konusunda çalışılmış bir örnek sunabilir mi?

Örneğin, muhafazakar formda denklem,

burada hızdır (uzayın bir fonksiyonu). Başlangıç ​​koşulları , başlangıç ​​koşulunun keskin bir eğime sahip olduğu soldan sağa (örneğin bir boru boyunca) hareket eden bir akış türünü belirtebilir (örneğin).u ( 0 , x $a(x)$$u(0,x)$

Hareketli ağ için eşit dağılım sorunu nasıl çözülmelidir (muhtemelen De Boor'un algoritması veya başka bir yaklaşımla)? Bunu kendim Python'da uygulamak istiyorum, böylece cevabınız daha iyi koda çevrilebiliyorsa!

Ödül öncesi eski soru

1. Sistemin özelliklerine göre uyarlanabilir bir ağ oluşturmak için temel yaklaşımlar nelerdir? Degradelerin büyük olduğu bir yer ölçüsü olarak akı kullanmalı mıyım?
2. Çünkü yinelemeli (zaman süpürme) bir çözüm arıyorum. Eski şebekeden yeni şebekeye enterpolasyon yapmanın önemli olduğunu düşünüyorum, olağan yaklaşım nedir?
3. Basit bir problem için çalışılmış bir örnek görmek isterim (advection denklemi gibi).

Sorunun özellikleri hakkında biraz bilgi. 1D çiftli bir denklem sistemini simüle ediyorum,

$\frac{\partial u}{\partial t} = a_u\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + b_u\frac{\partial u}{\partial x} + f_u(x,u,v,w) \\ \frac{\partial v}{\partial t} = a_v\frac{\partial^2 v}{\partial x^2} + b_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_v(x,u,v,w) \\ \frac{\partial w}{\partial t} = a_u\frac{\partial u}{\partial x} +a_v\frac{\partial v}{\partial x} + f_w(x,u,v,w) \\ $

Denklemler kümesi, üçüncü denklemin diğer ikiye bağlandığı iki tür adveksiyon-difüzyon problemini tanımlar. Çözüm, ızgaramın merkezine yakın hızla değişiyor, aşağıya bakın (bunlar hesaplama değil çizimdir),

Alt grafikteki log ölçeğinin, ve için çözümlerin büyüklük sıralarına göre değiştiğine dikkat edin. Üst grafikte ( ) merkezde bir süreksizlik var. Yukarıdaki sistemi, Péclet sayısının yerel değerine bağlı olarak, ayrıklaştırmanın merkezden yukarı rüzgâra hükmedebileceği uyarlanabilir bir rüzgârla çözüyorum . Sistemi zaman içinde yamuk entegrasyonu ("Crank-Nicolson") ile dolaylı olarak çözüyorum.$u$$v$$w$

Bu soruna uyarlanabilir bir ızgara uygulamakla ilgileniyorum. Bunun önemli olduğunu düşünüyorum çünkü aksi takdirde şekil tepe noktası ( ) parametresinin ayrıntıları kaybolabilirdi. Bu sorunun aksine , örgü üretimi için umarım basitçe bir algoritma uygulamak istiyorum.$w$

Bu bir adveksiyon-difüzyon problemi olduğu için, kişi dayalı bir uyarlanabilir ağ şemasını düşünebiliriz akı ait ve hücre sınırlarında. Bu, değerin hızlı bir şekilde nerede değiştiğini gösterir. Pik da akı büyük olduğu yere tekabül eder.v $u$$v$$w$

Uyarlanabilir ızgara, yüksek akış alan gradyanlarının bulunduğu bölgelerdeki ızgara noktalarını otomatik olarak kümeleyen bir ızgara ağıdır; fiziksel düzlemdeki ızgara noktalarını bulmak için akış alanı özelliklerinin çözümünü kullanır. Uyarlamalı ızgara, akış alanı değişkenlerini zaman adımlarında hesaplayan yöneten akış alanı denklemlerinin zamana bağlı bir çözümü ile birlikte zaman içinde gelişir. Çözüm sırasında, fiziksel düzlemdeki ızgara noktaları, büyük akış alanı gradyanlarının bölgeleri için 'uyum sağlamak' gibi bir şekilde hareket eder. Bu nedenle, fiziksel düzlemdeki gerçek ızgara noktaları akış alanının çözümü sırasında sürekli hareket halindedir ve sadece akış çözeltisi sabit bir duruma yaklaştığında sabit hale gelir.

Şebeke adaptasyonu, hem sabit hem de kararsız tip problemler için kullanılır. Sabit akış problemleri durumunda, ızgara önceden belirlenmiş sayıda yinelemeden sonra adapte edilir ve şebeke adaptasyonu, çözeltinin birleştiği noktada durur. Zamana uygun çözümler olması durumunda, ızgara noktası hareketi ve iyileştirme, fiziksel problemin zamana uygun çözümü ile birlikte gerçekleştirilir. Bu, fiziksel sorunun PDE'lerinin ve şebeke hareketini veya şebeke adaptasyonunu tanımlayanların zamanla doğru şekilde bağlanmasını gerektirir.

Daha yeni yapılandırmaların hesaplanması için, ağ oluşturma ve önceki deneyim için en iyi uygulama yönergelerine bağımlılık, kapıyı büyük miktarlarda sayısal hataya açık bırakır. Şebeke adaptasyon yöntemleri, çözüm kalitesinde önemli gelişmeler sağlayabilir ve daha iyi sonuçlar vaat eder çünkü ulaşılabilecek şebeke çözünürlüğü sınırını tanımlayan bir sınırlama yoktur.

yöntem, yöntem ve yöntem olmak üzere üç temel ızgara uyarlama tekniği türü vardır. Birinin bulabileceği bazı adaptasyon veya adaptasyon gibi karışık yaklaşımlar vardır. Bu ve tipi grid adaptasyon teknikleri sonlu hacim ve sonlu fark şemalarında daha popülerdir.$h$$r$$p$$rp$$hp$$r$$h$

$h$ tipi: -

yöntemi otomatik arıtılması yahut hata tahminleri veya hata göstergeleri sonradan dayalı mekansal örgü coarsening içerir.$h$

$r$ tipi: -

Ağda ve bağlantısında yerel topolojik değişiklikler yapmak yerine, r-adaptif yöntemler, sabit bir toplam örgü noktalarının konumlarını hareket ettirerek çözünürlükte yerel değişiklikler yapar.

$p$ tipi: -

Sonlu hacim veya sonlu elemanlar yöntemi yerine sonlu elemanlar yaklaşımında ızgara adaptasyonunun çok popüler yöntemi. İnterpolasyon fonksiyonlarının polinomunun aynı geometrik eleman sırası ile zenginleştirilmesiyle çözeltideki hatayı azaltır.Yeni bir kafes, hesaplanacak geometri yoktur ve bu yöntemin bir başka avantajı, düzensiz veya eğri sınırlara daha az hassasiyetle daha iyi yaklaşabilmesidir. en boy oranına ve eğime. Bu yüzden yapısal uygulamada çok ünlüdür.

$Driving-sources-of-grid-adaptation$

$1. Feature-based-adaptation$ Özellik tabanlı ızgara adaptasyon yaklaşık olarak büyük ölçüde kullanılan yaklaşım, ızgara adaptasyonu için itici güç olarak çözüm özelliğini kullanır. Bunlar genellikle çözelti gradyanları ve çözelti eğriliği gibi çözeltinin özelliklerini kullanır. Büyük çözelti gradyanlarına sahip akış bölgeleri, daha fazla nokta ile çözülür ve minimum öneme sahip bölgeler kabalaşır. Bu, sınır katmanı, şoklar, ayırma çizgileri, durgunluk noktaları vb. sağlamlık ve diğerleri.

$2.Truncation-error-based-adaption$ Kesme hatası, kısmi diferansiyel denklem ve ayrık denklemi arasındaki farktır. Kesme hatası, adaptasyonun nerede gerçekleşmesi gerektiğini bulmak için daha uygun bir yaklaşımdır. Kesme hatası tabanlı uyarlamanın arkasındaki genel kavram, toplam ayrıklaştırma hatasını azaltmak için hatanın simülasyon alanı üzerinden eşit dağıtılmasıdır. Basit denklemler için kısaltma hatasının değerlendirilmesi en kolay iştir, ancak karmaşık şemalar için zor olduğundan, bu amaç için farklı bir yaklaşım gereklidir. Basit ayrıklaştırma şemaları için, kesme hatası doğrudan hesaplanabilir. Kesimin doğrudan değerlendirilmesinin zor olduğu daha karmaşık şemalar için, kesilme hatasını tahmin etmek için bir yaklaşıma ihtiyaç vardır.

$3.Adjoint-based-adaptation$ sonraki umut verici yaklaşım, bitişik yaklaşımdır. Her hücrenin veya elementin, kaldırma, sürükleme ve momentler gibi ilgili herhangi bir çözüm fonksiyonunda ayrıklaştırma hatasına yerel katkısını tahmin etmede çok iyidir. Bu nedenle, çözümün gereksinimine göre hedeflenen ızgara adaptasyonunda faydalıdır, bu nedenle hedefe yönelik adaptasyon olarak da adlandırılır.

Herşey gönlünce olsun!

$References:-$

[1] Fidkowski Krzysztof J. ve Darmofal David L. Hesaplamalı sıvı dinamiklerinde çıktıya dayalı hata es zamanlaması ve ağ adaptasyonunun gözden geçirilmesi. AIAA Dergisi, 49: 673-694, 2011.

[2] John Tannehill Richard Pletcher ve Dale Anderson. Hesaplamalı akışkanlar mekaniği ve ısı transferi. Taylor ve Francis, 1997.

[3] JD Jr. Anderson. Hesaplamalı sıvı dyanamikleri: Uygulamalarla ilgili temel bilgiler McGraw Hill Inc., 1995.

[4] Roy Christopher J. CFD'de mesh adaptasyonunu yönetme stratejileri. Yeni Ufuklar Forumu ve Havacılık ve Uzay Fuarı Dahil 47. AIAA Havacılık ve Uzay Bilimleri Toplantısında, 2009.

[5] McRae Scott D. r-grid grid adaptasyon algoritmalarını ve sorunlarını yeniden anlatmaktadır. Uygulamalı mekanik ve mühendislikte hesaplama yöntemleri, 189: 1161–1182, 2000.

Ivanenko Sergey A. Azarenok Boris N. ve Tang Tao. Godunovs şemasına dayanan uyarlanabilir ağ yeniden dağıtım yöntemi. Comm. matematik. sci., 1: 152-179.

[7] Ahmadi Majid ve Ghaly Wahid S. Çözelti adaptasyonu ile volume nite hacim yöntemi kullanılarak kaskadlarda görünmez akış simülasyonu. CASI 6. Aerodinamik Sempozyumu'nda 1997.

[8] Jasak H. ve Gosman AD-nite-volum e m ethod için otomatik çözünürlük kontrolü, bölüm 1: a-posteriori hata tahminleri. Sayısal Isı Transferi, Taylor ve Francis, 38: 237-256, 2000.

[9] Jasak H. ve Gosman AD vol nite-volum em ethod için otomatik çözünürlük kontrolü, bölüm 2: Uyarlanabilir ağ bağlanması ve kalınlaşma. Sayısal Isı Transferi, Taylor ve Francis, 38: 257-271, 2000.

[10] Thompson David S. Soni Bharat K., Koomullil Roy ve Thornburg Hugh. Uyarlamalı ızgara stratejilerini nokta yeniden dağıtımına dayalı olarak çözümleyin. Uygulamalı mekanik ve mühendislikte hesaplama yöntemleri, 189: 1183–1204, 2000.

[11] Venditti David A. ve Darmofal David L. Fonksiyonel çıktılar için bitişik hata tahmini ve şebeke adaptasyonu: Yarı-tek boyutlu bir akışa uygulama. Hesaplamalı Fizik Dergisi, 164: 204–227, 2000.

[12] Balasubramanian R. ve Newman JC Fonksiyonel çıkışlar için bitişik ve özellik tabanlı şebeke adaptasyonunun karşılaştırılması. Uluslararası Sayısal Yöntemler Dergisi, 53: 1541–1569, 2007.

[13] Hartmann Ralf. Aerodinamikte hata tahmini ve bitişik adaptasyon. Avrupa Hesaplamalı Akışkanlar Dinamiği Konferansı, 2006.

Bunun için iyi cevaplar arıyordum. Arıtma için bir tür kriter kullandığım çok seviyeli uyarlanabilir ızgaralarla çalışıyorum. FEM yapan insanlar, oldukça ucuz (hesaplamalı), arıtma kriteri olarak kullandıklarına dair titiz hata tahminlerinden hoşlanırlar. FDM / FVM yaptığımız için bu tür tahminler bulma şansım olmadı.

Bu bağlamda, arıtma konusunda titiz olmak, yani asıl hatanın bazı tahminlerine dayanarak hassas olmak istiyorsanız , (neredeyse) tek seçeneğiniz Richardson Ekstrapolasyonudur. Örneğin, Berger ve Oliger (1984) tarafından blok yapılı AMR hiperbolik çözücüleri için kullanılan şey budur. Metodoloji, neredeyse herhangi bir sorun için Richardson Ekstrapolasyonunu kullanabileceğiniz açısından geneldir. Bununla ilgili tek sorun, özellikle geçici problemler için pahalı olmasıdır.

Richardson Ekstrapolasyonu dışında, diğer tüm kriterler (benim düşünceme göre) sadece ad hoc. Evet, "ilgilenilen miktar" için belirli bir eşik belirleyebilir ve buna göre hassaslaştırabilirsiniz. Bazı büyük gradyanları uyarmak ve kullanmak için bir miktar akı veya türev kullanabilirsiniz. Veya bir arayüzü izliyorsanız, arayüze ne kadar yakın olduğunuza bağlı olarak hassaslaştırabilirsiniz. Bunların hepsi elbette çok ucuz, ama onlar hakkında titiz bir şey yok.

Izgaralar arasındaki enterpolasyona gelince, genellikle en azından çözdüğünüz kadar doğru bir şeye ihtiyacınız vardır. Bazen belirli özellikleri karşılayan, örneğin kütleyi koruyan veya dışbükey olan enterpolasyonlar oluşturmak mümkündür, bu nedenle yeni ekstrema oluşturmazlar. Bu son mülkün bazen genel şemanın istikrarı için çok önemli olduğunu belirttim.

Gerçekten 1D ise, muhtemelen burada herhangi bir uyarlanabilir ağa ihtiyacınız olmayacak, böyle basit bir sorun için muhtemelen ihtiyacınız olan her şeyi statik bir ızgara ile, modern bir iş istasyonunun hesaplama gücüyle çözebilirsiniz. Ancak, zaman entegrasyonu sürecinde, sayısal çözünürlüğün vurgulandığı periyodik alanları tanımlamak, oraya ızgara noktaları eklemek (ve aşırı çözülmüş alanlardan ızgara noktalarını kaldırmak) ve yeni ızgaraya enterpolasyon yapmak oldukça makul bir stratejidir. Ancak bu çok sık yapılmamalıdır çünkü enterpolasyon maliyetli olabilir ve genel hesaplamada sayısal hata ekler.