Sonlu elemanlar ve sonlu hacim metodu arasındaki kavramsal farklar nelerdir?

Sonlu farklar ve sonlu hacim metodu arasında belirgin bir fark vardır (denklemlerin nokta tanımından hücreler üzerinde integral ortalamalara geçiş). Ancak FEM ve FVM'yi çok benzer buluyorum; Her ikisi de hücreler üzerinde integral form ve ortalama kullanırlar.

FVM'nin olmadığı FEM metodu nedir? FEM hakkında biraz bilgi okudum Denklemlerin zayıf formda yazıldığını anlıyorum, bu yöntem FVM'den biraz farklı bir ifade noktası veriyor. Ancak, kavramsal düzeyde farklılıkların ne olduğunu anlamıyorum. FEM, bilinmeyen hücre içinde nasıl değiştiği konusunda bazı varsayımlarda bulunuyor mu, bu FVM ile de yapılamaz mı?

Çoğunlukla 1D perspektifinden geliyorum, bu yüzden FEM'in birden fazla boyutta avantajları olabilir?

İnternette bu konuda çok fazla bilgi bulamadım. Wikipedia'da FEM'in sonlu farklar yönteminden ne kadar farklı olduğu konusunda bir bölüm var, ancak bu konuda, http://en.wikipedia.org/wiki/Finite_element_method#Comparison_to_the_finite_difference_method .

Sonlu Elemanlar: hacimsel integraller, iç polinom düzeni

Klasik sonlu elemanlar yöntemleri, sürekli ya da zayıf sürekli yaklaşma uzayları varsaymakta ve zayıf formun hacimsel integrallerinin gerçekleşmesini talep etmektedir. Doğruluk sırası, elemanlar içindeki yaklaşım sırasını yükselterek arttırılır. Metotlar tam olarak muhafazakar değildir, dolayısıyla süreksiz işlemler için kararlılıkla mücadele ederler.

Sonlu Hacim: yüzey integralleri, süreksiz veri akışları, yeniden yapılanma sırası

Sonlu hacimli yöntemler, parça parça sabit yaklaşım boşluklarını kullanır ve parça parça sabit test fonksiyonlarının karşılanması için integraller ister. Bu kesin koruma beyanları verir. Hacim integrali bir yüzey integraline dönüştürülür ve tüm fizik bu yüzey integrallerinde akı cinsinden belirtilir. Birinci dereceden hiperbolik problemler için bu bir Riemann problemidir. İkinci dereceden / eliptik akılar daha incedir. Doğruluk derecesi, komşuların (muhafazakar), elementlerin içindeki durumun daha yüksek dereceli temsillerini (eğim inşası / sınırlama) yeniden yapılandırması veya akıların yeniden yapılandırılması (akı sınırlaması) ile yeniden yapılandırılmasıyla arttırılır. Yeniden yapılanma süreci genellikle çözümün süreksiz özellikleri etrafındaki salınımları kontrol etmek için doğrusal değildir. toplam varyasyon azalan (TVD) ve esasen osilasyonlu olmayan (ENO / WENO) yöntemlere bakınız. Hem pürüzsüz bölgelerdeki birinci dereceden doğruluktan daha yüksek hem de süreksizliklerde sınırlanmış toplam farklılığı aynı anda elde etmek için doğrusal olmayan bir ayrılma gereklidirGodunov teoremi .

Yorumlar

Hem FE hem de FV'nin yapılandırılmamış ızgaralarda ikinci dereceden hassasiyetini tanımlaması kolaydır. Yapılandırılmamış ızgaralarda FE'nin ikinci dereceden öteye geçmesi daha kolaydır. FV uygun olmayan ağları daha kolay ve sağlam bir şekilde işler.

FE ve FV'yi birleştirmek

Yöntemler çeşitli şekillerde evlenebilir. Süreksiz Galerkin yöntemleri, süreksiz temel işlevler kullanan sonlu elemanlar yöntemleridir, böylece süreksiz işlemler (özellikle hiperbolik) için Riemann çözücüler ve daha sağlamlık kazanırlar. DG yöntemleri doğrusal olmayan sınırlayıcılarla (genellikle doğrulukta bir miktar azalma ile) kullanılabilir, ancak sınırlayıcı olmadan hücre tipi bir entropi eşitsizliğini sağlar ve bu nedenle diğer programların sınırlayıcı gerektirdiği bazı problemleri sınırlamadan kullanılabilir. (Ayrık eşlenikliği, sürekli eşleniklik denklemlerini daha iyi temsil ettiği için, özellikle eşlenik tabanlı optimizasyon için kullanışlıdır.) , bu cevabı gördaha fazlası için. Yeniden yapılanma DG yöntemleri (yani veya "Kurtarma DG") hem FV-benzeri konservatif rekonstrüksiyon hem de iç sipariş zenginleştirmesini kullanır ve bu nedenle FV ve DG yöntemlerinin bir üst kümesidir.$P_N P_M$

FEM ve FVM'nin kavramsal farklılıkları, bir ağaçla çam arasındaki farklar kadar incedir.

Belirli bir FEM şemasını belirli bir soruna uygulanan FVM takdir yetkisi ile karşılaştırırsanız, farklı uygulama yaklaşımlarında ve farklı yaklaşım özelliklerinde (@Jed Brown'ın cevabında belirtildiği gibi) ortaya çıkan temel farklılıklardan söz edebilirsiniz.

Ancak genel olarak, FVM'nin bir hücre ızgarası ve parça parça sabit test fonksiyonları kullanan özel bir FEM olayı olduğunu söyleyebilirim. Bu ilişki, kitapta Grossmann, Roos & Stynes: Kısmi Diferansiyel Denklemlerin Nümerik İşlemleri tarafından bulunabileceği için FVM'nin yakınsaklık analizi için de kullanılır .

Temel fark, basitçe sonuçlara eklenecek anlamdır. FDM, çözümün herhangi bir yönünün nokta değerlerini tahmin eder. Bu değerler arasındaki enterpolasyon genellikle kullanıcının hayal gücüne bırakılır. FVM, belirli kontrol hacimlerindeki korunan değişkenlerin ortalamalarını tahmin eder. Bu nedenle bütünleşik korunan değişkenleri öngörür ve zayıf (süreksiz) çözümlere yakınlaştığı gösterilebilir. FEM, bir temel fonksiyonlar çağrılarak, her bir yerde net bir çözümün her yerde net olarak çıkarılabileceği bir dizi ayrı değer verir. Genellikle, ancak mutlaka, ilgili değişkenler muhafazakar değildir. Belirli bir kuadratür kuralına göre, bir anlamda muhafazakar olan sonlu fark yöntemlerine sahip olmak mümkündür.

Bunlar tanım meseleleri. Her üç yöntemin de bir çok çeşidi vardır. Her yöntem tek tip temiz değildir ve detaylar uygulama alanları arasında farklılık gösterir. Yeni bir yöntem sunan araştırmacılar, aradıkları özellikleri sağlamaya yardımcı olacak araçları kullanırlar. Gördüğünüz gibi, otoriter bir tartışma bulmak zor ve bir görüşme yapmak benim için zor olacak. Verebileceğim en iyi tavsiye, tamamen net bir cevap beklemeden okumaya devam etmek, ancak sizin için anlamlı olan şeylere güven vermektir.