Dirichlet sınır koşullarının sonlu hacim yöntemi ile Poisson denklemine uygulanması

Hücre merkezli tek tip olmayan bir ızgarada sonlu hacim yöntemi kullanılırken Dirichlet koşullarının normal olarak nasıl uygulandığını bilmek istiyorum,

Mevcut uygulamam, ilk hücrenin değerini sabitlediğim sınır koşulunu getiriyor,

$$\phi_1 = g_D(x_L)$$

burada , çözüm değişkenidir ve , alan Dirichlet sınır koşulu değeridir ( NB ). Ancak bu yanlıştır, çünkü sınır koşulu hücrenin kendisinin değerini değil, hücre yüzünün değerini düzeltmelidir . Gerçekten başvurmam gereken şey,$\phi$x L ≡ x 1 /$g_D(x_L)$ $x_L \equiv x_{1/2}$

$$\phi_{L} = g_D(x_L)$$

Örneğin, Poisson denklemini çözelim,

$$0 = (\phi_x)_x + \rho(x)$$

başlangıç ​​koşulu ve sınır koşulları ile,

$$\rho=-1\\ g_D(x_L)=0 \\ g_N(x_R)=0$$

(burada , sağ tarafta bir Neumann sınır koşuludur).$g_N(x_R)$

Sayısal çözümün hücre değişkeninin değerini sol taraftaki sınır koşulu değerine ( ) nasıl edin. Bu, tüm çözeltiyi yukarı kaydırma etkisine sahiptir. Etki çok sayıda ağ noktası kullanılarak en aza indirilebilir, ancak bu sorun için iyi bir çözüm değildir.$g_D(x_L)=0$

Soru

Sonlu hacim yöntemi kullanılırken Dirichlet sınır koşulları hangi şekillerde uygulanır? Ben (bir hayalet noktası) veya kullanarak enterpolasyon veya ekstrapolasyon değerini düzeltmek gerektiğini varsayıyorum , bu noktalardan geçen düz çizgi istenen değere sahip . Düzgün olmayan hücre merkezli bir ağ için bunun nasıl yapılacağına dair bir rehberlik veya örnek verebilir misiniz?ϕ 0 ϕ 2 x $\phi_1$$\phi_0$$\phi_2$$x_L$

---

Güncelleme

İşte önerdiğiniz bir hayalet hücre yaklaşımını kullanma girişimim, makul görünüyor mu?

hücresi için denklem (burada akışını temsil eder ),F$\Omega_1$$\mathcal{F}$$\phi$

$$\mathcal{F}_{3/2} - \mathcal{F}_{L} = \bar{\rho}$$

Biz yazmaya gerek hayalet hücre kullanarak sınır koşulu açısından , Ω $\mathcal{F}_{L}$$\Omega_0$

$$\mathcal{F}_{L} = \frac{\phi_1 - \phi_0}{h_{-}} \quad\quad \text{[1]}$$

Ama sonuçta terimini denklemden gerekiyor . Bunu yapmak için, hücresinin merkezinden hücresinin merkezine doğrusal enterpolasyon olan ikinci bir denklem . Uygun olarak bu çizgi geçer , bu nedenle Dirichlet koşulları takdir yetkisine girer (çünkü bu noktadaki değer sadece ),Ω 0 Ω 1 x L g D ( x L$\phi_0$$\Omega_0$$\Omega_1$$x_L$$g_D(x_L)$

$$g_D(x_L) = \frac{h_1}{2h_{-}}\phi_0 + \frac{h_0}{2h_{-}}\phi_1 \quad\quad \text{[2]}$$

Denklem 1 ve 2'yi birleştirerek ortadan ve ve cinsinden için bir ifade bulabiliriz ,F L ϕ 1 g D ( x L$\phi_0$$\mathcal{F}_L$$\phi_1$$g_D(x_L)$

$$\mathcal{F}_L = \frac{1}{h_{{-}}} \left(\phi_{1} - \frac{1}{h_{1}} \left(2 g_{D} h_{{-}} - h_{1} \phi_{1}\right)\right)$$

Hayalet hücrenin hacmini seçmekte özgür olduğumuzu varsayarak, yapabiliriz ,$h_0 \rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = -\frac{2 g_{D}}{h_{1}} + \frac{2 \phi_{1}}{h_{{-}}}$$

Bu daha da basitleştirilebilir, çünkü ve hücreleri aynı , nihayet verirken,Ω 1 sa - → h $\Omega_0$$\Omega_1$$h_{-}\rightarrow h_1$

$$\mathcal{F}_L = \frac{2}{h_{1}} \left( \phi_1 - g_D \right)$$

Ancak, bu yaklaşım kararsız tanımı kurtardı , bu yüzden nasıl devam edeceğinden emin değilim? Tavsiyenizi yanlış mı yorumladım (@Jan)? Garip olan şey, işe yarıyor gibi görünüyor, aşağıya bakın,

Aşağıya bakın, işe yarıyor,

Dirichlet BC ile eliptik problemler için FVM ayrıklıklarının kararlılık analizinde merkezi bir varsayım, belirttiğiniz iç hücrelerin sınırla kesişmesidir, yani , bir de set olarak görülmesi halinde , alan ise , örneğin, bakınız, örneğin, [kitabından Grossmann ve Roos , s. 92]R n - 1 Ω ⊂ R

$$\overline \Omega_i \cap \Gamma_D = 0 \quad \quad (*)$$ $\mathbb R^{n-1}$$\Omega \subset \mathbb R^n$

Bu nedenle, kurulumunuzda bu, stabil olmayan herhangi bir bilinen stabilite sonuçları çelişir. EDIT : Belirli bir hacim ve mesafe seçimi için bir hayalet hücre ve içine doğrusal enterpolasyon kullanarak , akı olarak elde edilir . Dolayısıyla, gerçekten kararlı bir şemadır.( ∗ ∗ ) ( ∗ ∗

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr) \quad \quad (**)$$ $(**)$$(**)$

Poisson problemi için kararlılık ve yakınsama (ayrık maksimum normda birinci dereceden), 1D durumu için çizimimde gösterildiği gibi, gerçek sınırdaki "merkezleri" olan farklı sınır hücreleriyle , gridler için Grossmann & Roos tarafından kanıtlanmıştır .

Burada, arayüzdeki diferansiyel bölüm düz bir şekilde tahmin edilir.

İki nedenden dolayı hayalet hücrelerin ortak yaklaşım olduğunu söyleyebilirim .

• Çizimimde açıklanan kararlı durumu taklit ediyorlar, ancak enterpolasyonlu bir sınır koşulu ile
• Basitçe fiziksel sınıra bağlanırlar. Bu nedenle, alanın bir üçgenlemesini de kullanabilirsiniz, ayrıca avantajlı olan, çünkü genellikle doğrudan arayüze dayatılan doğal BC'ler de vardır [ Grossmann & Roos , s. 101].

Bu yüzden, Dirichlet sınırı için hayalet hücreler kullanmanızı öneririm. , bu, sisteminize ve , ve belki de diğerleri arasındaki sınırlamanın eşit olması .ϕ 0 ϕ 1 g $\phi_0$$\phi_0$$\phi_1$$g_D$

"Düz çizgi" yaklaşımınız anlamına gelir$\phi_1-\frac{\phi_2-\phi_1}{x_2-x_1}(x_1-x_0)=0$$x_0$$x_i$$\phi_i$$\phi_1$$\phi_2$$\phi_1$

Burada bulduğunuz şey, Dirichlet koşullarını oluşturan eliptik denklemler için sonlu hacimlerin neden sık kullanılmadığıdır. Akılar açısından daha doğal koşulların belirtildiği koruma yasaları için kullanılırlar.

$$\frac{d^2 \phi}{dx^2} = f$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2}-\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \int_{x_{1/2}}^{x_{3/2}}f\, dx$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{3/2} = \frac{\phi_2-\phi_1}{h_+}$$

$(d\phi/dx)_{1/2}$$\phi_{1/2}$$x_{1/2}$$x_1$$x_2$$h$

$$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{1}{h}\Bigl(-\frac{1}{3}\phi_2+3\phi_1-\frac{8}{3}\phi_{1/2}\Bigr)$$ $$\Bigl(\frac{d\phi}{dx}\Bigr)_{1/2} = \frac{2}{h_1}\Bigl(\phi_1-\phi_{1/2}\Bigr)$$

Tabii ki, kontrol edilmesi gereken bir şey de sınırlamadaki ikinci dereceden yaklaşım ile takdirinizin kararlılığıdır. Başımın üstünden, iç kısımda ortalanmış ikinci dereceden bir yaklaşımla birlikte kararlı olup olmayacağını bilmiyorum. Bir matris kararlılık analizi size kesin olarak söyleyecektir. (Sınırdaki birinci dereceden yaklaşımın kararlı olacağından neredeyse eminim.)

Hayalet noktaları kullanma olasılığından bahsediyorsunuz. Bu, iç mekandan hayalet noktasına ekstrapolate etmeniz ve bc'yi işlemde kullanmanız gereken soruna yol açar. En azından bazı hayalet noktası tedavilerinin yukarıda özetlediğim türden bir yaklaşımı kullanmaya eşdeğer olduğundan şüpheleniyorum, ancak "kanıtlamadım".

Umarım bu biraz yardımcı olur.