Sonlu farklarla katı mekaniği: “Köşe düğümleri” nasıl ele alınır?

Katı mekaniğin kodlama sınır koşulları (doğrusal elastikiyet) ile ilgili bir sorum var. Özel durumda sonlu farklar (3D) kullanmak zorundayım. Bu konuda çok yeniyim, bu nedenle aşağıdaki soruların bazıları çok temel olabilir.

Özel sorunuma öncülük etmek için, öncelikle zaten uyguladığımı göstermek istiyorum (Açık tutmak için sadece 2B kullanacağım).

1.) Diverjansın ilk bileşenini gösteren $div(\sigma) = 0$ takdir yetkisine sahibim :$\frac{\partial\sigma_{xx}}{\partial x} + \frac{\partial\sigma_{xy}}{\partial y} = 0$

Aşamasız bir ızgara kullanıyorum, bu yüzden Ux ve Uy aynı yerde tanımlanıyor.

2.) Bir sonraki adım, "hayalet düğümleri" kullandığım sınırları tedavi etmekti. Göre , sınırda stres.$\sigma \bullet n = t^*$$t^*$

a) Burada kullanıyorum Ux ve Uy'un diğer tüm değerleri verildiğinde hayalet noktasında Ux (vücudun içinde). bu stresin sınırdaki değeridir (normalde sıfır).$(\lambda + 2\mu)\frac{\partial U_x}{\partial x} + \lambda \frac{\partial U_y}{\partial y} = \sigma_{xx}^*$$\sigma_{xx}^*$

b) Aynı prosedür, sadece hayalette elde ediyorum nokta. Yine bu stresin sınırdaki değeridir (normalde sıfır).$\mu\frac{\partial U_x}{\partial y} + \mu \frac{\partial U_y}{\partial x} = \sigma_{xy}^*$$\sigma_{xy}^*$

3.) Şimdiye kadar tüm adımların mantıklı olduğunu düşünüyorum, eğer değilse, lütfen beni düzeltin . Ama şimdi de onları nasıl ele alacağımı bilmediğim "köşe düğümleri" var.

Köşe düğümünde için tutmak için sol alt düğümde Ux ve Uy'a ihtiyacım var. Ama burada düğüm 2) gibi önceki prosedürüm işe yaramıyor, çünkü düğüm sınıra dik değil. Zaten yer değiştirmeleri tahmin etmeye çalıştım, ancak bu istikrar sorunlarına neden olacak gibi görünüyor (tüm sorunu yinelemeli bir çözücü ile örtük olarak çözüyorum).$div(\sigma) = 0$

Benim sorum şu "köşe düğümleri" ile başa çıkmanın doğru yolu nedir? Her fikir için mutluyum.

Köşe sınır koşulları ile benzer problemler yaşadım, özellikle yapısal plaka problemlerini eşit olarak uygulanan enine basınçla çözerken. Özellikle kenarlardaki kesme yüklerini (köşeler dahil) elde etmeye çalışıyorsa. Kesme yükleri ∂ ^ 3 w / ∂ ^ 2 x∂y'nin bir fonksiyonudur. Merkezi bir fark şeması kullanarak, bu türevi belirlemek için köşe düğümüne çapraz olan "hayalet" düğüme ihtiyaç duyulmaktadır. Bitişik düğümlere dayalı ortalamanın uygun olduğuna inanmıyorum. Yaptığım şey, köşe düğümünde hesapladığım ve yer değiştirmelerin bir fonksiyonu olarak büküm anı için sonlu fark "molekülüne" eşitlediğim büküm momenti Mxy'yi kullanmaktı. Diğer tüm komşu düğümlerin yer değiştirmelerini zaten bildiğimden (plakanın kenarları boyunca sınır koşullarına bağlı olarak) bu "zor" köşe düğümü için çözmek basit bir konuydu. Umarım bu yardımcı olur.

Benzersiz bir çözümü olmayan bir denklem sistemini çözmeye çalışıyor olabilirsiniz. Yaylarla birbirine bağlanmış, uzayda yüzen bir demet düğümünüz olduğunu ve her düğümün denge konumunu bulmak istediğinizi düşünün. Sistem sabit bir şeye sabitlenmezse (veya kuvvet uygulanmazsa), birçok olası çözüm vardır. Herhangi bir çözüm her zaman çevrilebilir veya döndürülebilir ve yine de bir çözümdür. Çeviriyi ortadan kaldırmak için yer değiştirmeleri bir köşe düğümüne sabitlemeyi ve dönüşleri ortadan kaldırmak için bir yer değiştirmeyi başka bir köşeye sabitlemeyi denediniz mi?

Bir keresinde bazı düğümleri düzeltmek ve diğerlerine normal kuvvetleri ayarlamak için bu yaklaşımı denedim, ancak tek tek sınır düğümlerine büyük miktarlarda güç odaklanmış gibi görünüyordu, bu da kararsızlığa neden oldu. İşe yarayan şey, sadece birkaç düğümü tutturmaya çalışmak değil, tüm düğümleri homojen bir suşa göre tutturmaktı. Esasen tüm sistemi homojen bir şekilde zorlarsınız, ancak daha sonra homojen bileşeni her bir düğümdeki lokal gerilim tanımına dahil edersiniz, böylece ek elastik enerjiye katkıda bulunmaz. Bu makalede ve belirtilen referanslarda daha fazla bilgi bulabilirsiniz: http://pubs.acs.org/doi/abs/10.1021/nn204177u .

Bu kararsızlık problemi, mekanik problemler için mümkünse sonlu elemanlar seçmek için muhtemelen iyi bir nedendir.