Olabilirlik Oranı testi için düzenlilik koşulları nelerdir

Herkes bana Olabilirlik Oranı testinin asimptotik dağılımı için düzenlilik koşullarının neler olduğunu söyleyebilir mi?

Baktığım her yerde, 'Düzenlilik koşulları altında' veya 'olasılıklı düzenlilikler altında' yazılır. Koşullar tam olarak nedir? Birinci ve ikinci log olabilirlik türevlerinin var olduğunu ve Bilgi matrisinin sıfır olmadığını? Yoksa tamamen başka bir şey mi?

maximum-likelihood likelihood-ratio asymptotics

— Kingstat
kaynak

Gerekli düzenlilik koşulları çoğu ara ders kitabında listelenmiştir ve mle'ninkilerden farklı değildir. Aşağıdakiler bir parametre durumu ile ilgilidir, ancak bunların çok parametreli uzantıları basittir.

Koşul 1 : PDF'ler farklıdır, yani $\theta \neq \theta ^{\prime} \Rightarrow f(x_i;\theta)\neq f(x_i;\theta ^{\prime})$

Bu koşulun temel olarak parametrenin pdf'yi tanımladığını belirttiğine dikkat edin.

Koşul 2: PDS'ler herkes için ortak desteğe sahiptir $\theta$

Bunun ima destek bağlı olmamasıdır $\theta$

Durum 3 : nokta , gerçek parametre, bazı sette bir iç noktasıdır $\theta_0$ $\Omega$

Sonuncusu , bir aralığın uç noktalarında olasılığı ile ilgilidir . $\theta$

Olabilirlik gerçek parametre de maksimize edilecek Bu üç birlikte garanti ve daha sonra mle bu bu çözer denklemi $\theta_0$ $\hat{\theta}$

\frac{\partial l (θ)}{\partial θ} = 0

$\frac{\partial l(\theta)} {\partial \theta}=0$

tutarlıdır.

Koşul 4 : pdf , fonksiyonu olarak iki kez ayırt edilebilir $f(x;\theta)$ $\theta$

Durum 5 : entegre bir fonksiyonu olarak İntegral altında iki kez ayırt edilebilir $\int_{-\infty}^{\infty} f(x;\theta)\ \mathrm dx$ $\theta$

Mle'nin yakınsama teorisinde merkezi bir rol oynayan Fisher Bilgisini elde etmek için son ikisine ihtiyacımız var.

Bazı yazarlar için bunlar yeterlidir, ancak kapsamlı olursak, mle'nin asimtotik normallikini sağlayan son bir koşula da ihtiyacımız vardır.

Koşul 6 : pdf , fonksiyonu olarak üç kat farklılaştırılabilir . Ayrıca tüm , bir sabit ve bir fonksiyonu vardır, öyle ki $f(x;\theta)$ $\theta$ $\theta \in \Omega$ $c$ $M(x)$

| \frac{\partial^{3} l o g f (x; θ)}{\partial θ^{3}} | \leq M (x)

$\left| \frac{\partial^3 log f(x;\theta)}{\partial \theta^3} \right| \leq M(x)$

için ile ve destek $E_{\theta_0} \left[M(X)\right] <\infty$ $|\theta-\theta_0|<c$ $x$ $X$

Esasen son koşul, yaklaşık ikinci bir Taylor genleşmesinin geri kalanının olasılıkla sınırlı olduğu ve bu nedenle asimptotik olarak hiçbir sorun oluşturmadığı sonucuna varmamızı sağlar. $\theta_0$

Aklında olan şey bu muydu?

— JohnK
kaynak

Teşekkürler. Ama -2log (lambda) 'nın df 1 ile Chi karesini izlediğine dair kanıtla ilgili düzenlilik koşullarının aynı olduğundan emin misiniz?

— Kingstat

@Kingstat Evet. Bu koşullar Hogg ve Craig "Matematiksel İstatistiklere Giriş" den gelir ve

altında ,

H_{0}

$H_0$

θ = θ_{0}

$\theta=\theta_0$

- 2 \log Λ \to^{D} χ^{2} (1)

$-2\log\Lambda \to^D \chi^2 (1)$

— JohnK

Bana ayrıca N (θ, 1) yoğunluk için, Rao'nun Puan testinin UMPU testine eşdeğer olduğunu söyleyebilir misiniz?

— Kingstat

@Kingstat UMPU ne anlama geliyor?

— JohnK

Tekdüze en güçlü tarafsız.

— Kingstat