Moment Üreten Fonksiyonlar ve Fourier Dönüşümleri?

Moment üreten fonksiyon , olasılık yoğunluk fonksiyonunun Fourier dönüşümü mü?

Diğer bir deyişle, moment üreten bir fonksiyon sadece rastgele bir değişkenin olasılık yoğunluk dağılımının spektral çözünürlüğüdür, yani bir fonksiyonu parametre yerine genliği, fazı ve frekansı ile karakterize etmenin eşdeğer bir yolu mu?

Eğer öyleyse, bu canavara fiziksel bir yorum yapabilir miyiz?

Soruyorum çünkü istatistiksel fizikte bir kümülatör üreten fonksiyon , bir an üreten fonksiyonun logaritması, bir fiziksel sistemi karakterize eden ilave bir miktardır. Enerjiyi rastgele bir değişken olarak düşünürseniz, o zaman kümülatör üreten fonksiyon, enerjinin bir sistem boyunca yayılması olarak çok sezgisel bir yoruma sahiptir. Moment üreten fonksiyon için benzer bir sezgisel yorum var mı?

Matematiksel faydasını anlıyorum , ama bu sadece bir hile kavramı değil, elbette kavramsal olarak arkasında bir anlam var mı?

moments mgf cumulants

— bolbteppa
kaynak

Fourier dönüşümüne daha çok benzeyen karakteristik fonksiyon olduğuna inanıyorum. Moment üreten fonksiyon bir Laplace dönüşümüdür.

— Placidia

İlginç: "Laplace dönüşümü Fourier dönüşümü ile ilgilidir, ancak Fourier dönüşümü bir işlevi veya sinyali titreşim modlarına çözerken, Laplace dönüşümü bir işlevi anlarına çözer" princeton.edu/~achaney/tmve/wiki100k/ docs /… O zaman soru şu - sezgisel olarak, bir Laplace dönüşümü bir işlevi kendi anlarına nasıl parçalara ayırıyor ve bunun geometrik bir yorumu var mı?

— bolbteppa

Üstel fonksiyonun Taylor serisi genişlemesi sayesinde bunu yapar.

— Placidia

Şimdi her şey neredeyse mantıklı! Ancak, sezgisel olarak bir an tam olarak nedir? Bunu biliyorum: "Bir anın bir sinyalin bir sinyalin ortalama değerinden nasıl saptığı düşünülebilir - ilk an aslında ortalama, ikincisi varyans vb ..." dsp.stackexchange.com/a/ 11032 Ancak, bu sezgisel olarak ne anlama geliyor? 1/2/3 / 4'üncü diyelim anını hesaplarken örnek nedir, x ^ 2 (x ^ 2 Laplace dönüşümü alarak)? Geometrik bir yorum var mı?

— bolbteppa

MGF

$M_{X}(t)=E\left[ e^{tX} \right]$

$t$ $f(x)$

$M_{X}(t)=\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx}f(x) dx.$

$e^{itx}$ $e^{tx}$

$e^{-tx}$ $e^{tx}$

— Brian Borchers
kaynak

E (e^{i t X})

$E(e^{itX})$

E (e^{- i t X})

$E(e^{-itX})$

Ve elbette en kullanışlı özellik, iki bağımsız rasgele değişkenin toplamının MGF'sinin moment üreten fonksiyonlarının ürünü olmasıdır. Bu, iki fonksiyonun evrişiminin Fourier dönüşümünün Fourier dönüşümlerinin ürünü olduğu kurala eşdeğerdir.

— Brian Borchers