Pdf ve pmf ve cdf aynı bilgileri içeriyor mu?

17

Benim için pdf tüm olasılığı belirli bir noktaya verir (temel olarak olasılık altındaki alan).

Pmf belirli bir noktanın olasılığını verir.

Cdf belirli bir noktadaki olasılığı verir.

Bana göre pdf ve cdf aynı bilgiye sahip, ancak pmf xdağıtımda bir noktaya olasılık vermediği için değil .

— Kare
kaynak

25

Olasılık fonksiyonu ve yoğunluk * arasında bir ayrım yapılırsa, pmf sadece ayrık rasgele değişkenler için geçerlidir, pdf ise sürekli rasgele değişkenler için geçerlidir.

* resmi yaklaşımlar her ikisini de kapsayabilir ve onlar için tek bir terim kullanabilir

Cdf, ne pdf ne de pmf içermeyen rastgele değişkenler için geçerlidir.

enter image description here

( Karma dağıtım , pdf veya pmf içermeyen tek dağıtım durumu değildir, ancak oldukça yaygın bir durumdur - örneğin, bir günde yağmur miktarını veya taleplerde ödenen para miktarını göz önünde bulundurun her ikisi de sıfır şişirilmiş sürekli dağılımla modellenebilecek bir emlak sigortası poliçesi)

Rastgele bir değişkeni için cdf , $X$ $P(X\leq x)$

Ayrık rasgele bir değişken için pmf , . $X$ $P(X=x)$

Pdf'nin kendisi olasılıklar değil , göreceli olasılıklar verir; sürekli dağılımların nokta olasılıkları yoktur. PDF'lerden olasılıkları elde etmek için belirli bir aralıkta entegrasyon yapmanız veya iki cdf değerinin farkını almanız gerekir.

'Aynı bilgileri içeriyorlar mı?' Sorusunu cevaplamak zor çünkü ne demek istediğinize bağlı. Pdf'den cdf'ye (entegrasyon yoluyla) ve pmf'den cdf'ye (toplama yoluyla) ve cdf'den pdf'ye (farklılaşma yoluyla) ve cdf'den pmf'ye (fark yoluyla) gidebilirsiniz, böylece bir pmf veya pdf varsa, cdf ile aynı bilgileri içerir.

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

1

Glen, "göreceli olasılıklar veren pdf" hakkında okuyabileceğim bazı referanslar vererek yardımcı olabilir misiniz? Çok ilginç ve kitaplarımda gördüğümü hatırlamıyorum. Teşekkürler.

— Alecos Papadopoulos

@Alecos Bu,

in bir olasılık olmadığı gerçeğinin (belki de kötü ifade edilen) bir açıklamasıdır , çünkü

f (x)

$f(x)$

de olma olasılığıdır, o zaman

,

yoğunluğuna sahip bir değişkeninçok küçük bir mesafe içindeolma olasılığının oranı olarak düşünülebilir.

,

yoğunluğuna sahip bir değişkeninaynı aralıkta olduğuorandır. Bu anlamda 'göreli olasılığı' ifade eder.

f (x) d x

$f(x)\,dx$

(x, x + d x)

$(x,x+dx)$

f (x) / g (x)

$f(x)/g(x)$

f

$f$

x

$x$

g

$g$

— Glen_b

Anlıyorum. Kesinlikle olasılıkların oranının bir tahmini olarak geçerlidir ve kesinlikle şeylerin gereklilikle ayrık olduğu ampirik yoğunluk fonksiyonlarında bulunur.

— Alecos Papadopoulos

10

PMF'ler ayrık rasgele değişkenler, sürekli rasgele değişkenli PDF'ler ile ilişkilidir. Herhangi bir rasgele değişken rasgele türü için, CDF daima olarak tanımlanır (ve benzersizdir) Şimdi, rastgele değişken destek setine bağlı olarak, yoğunluk (veya kütle fonksiyonu) mevcut değildir. ( Cantor Seti ve Cantor İşlevini göz önünde bulundurun, set, birim aralığının 1 / 3'ünün ortasının çıkarılması, ardından (0, 1/3) ve (2/3, 1) aralıkları için prosedürün tekrarlanmasıyla tekrarlı olarak tanımlanır. Fonksiyon

F_{X} (x) = P {X \leq x} .

$F_X(x) = P\{X \leq x\}.$

X

$X$

, eğer

Cantor kümesi ise ve büyük Cantor Kümesi bağlanmış düşük değerler

üye değildir.) Cantor İşlevi gayet iyi dağılım fonksiyonudur, eğer yapışkanlığı üzerinde

ise

ve

,

. Ancak bu cdf'nin yoğunluğu yoktur:

her yerde süreklidir, ancak türevi hemen hemen her yerde 0'dır. Yararlı herhangi bir ölçüme göre yoğunluk yok.

C (x) = x

$C(x) = x$

x

$x$

x

$x$

C (x) = 0

$C(x)= 0$

x < 0

$x < 0$

C (x) = 1

$C(x) = 1$

1 < x

$1 < x$

C (x)

$C(x)$

Yani, sorunuzun cevabı, eğer bir yoğunluk veya kütle fonksiyonu varsa, o zaman bir ölçüme göre CDF'nin bir türevidir. Bu anlamda "aynı" bilgiyi taşırlar. AMA, PDF'lerin ve PMF'lerin mevcut olması gerekmez. CDF'ler mevcut olmalıdır.

— Dennis
kaynak

2

Dennis, ne demek istediğini açıklayabilir misin " Hiçbir ölçüme göre yoğunluk yok ? Kesinlikle kendisine göre bir yoğunluğu (üniform!) Vardır.

— kardinal

μ

$\mu$

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$ is the basis of the CDF (see Joel's comment). The density is the Radon-Nikodym derivative of

μ

$\mu$ with respect to some measure (usually Lesbesgue measure or Counting measure). In this case,

C (x)

$C(x)$ has no R-N derivative.

— Dennis

3

@cardinal (continued): The probability measure is uniform on the Cantor Set, but this is such a strange beastie that I'm not even sure what the

σ

$\sigma$ -algebra looks like. Perhaps I should have said, "No density with respect to any useful measure."

— Dennis

2

The other answers point to the fact that CDFs are fundamental and must exist, whereas PDFs and PMFs are not and do not necessarily exist.

This confused and intrigued me (being a non-statistician), as I did not know how to interpret a CDF (or how it might exist) when the sample space was not ordered; think, for example, of the circle $S^1$ .

It seems to me that the answer is that the fundamental function is the probability measure, which maps each (considered) subset of the sample space to a probability. Then, when they exist, the CDF, PDF and PMF arise from the probability measure.

— Joel Bosveld
kaynak

1

The way I've seen it, most text books define "random variable" to be a mapping from a sample space to the real numbers. Essentially, a "random variable" is real-valued.

— Neil G

1

We use random variables to get into the probability space

(R, B, F)

$(\mathbb{R}, \frak{B}, \mathrm{F})$ and away from

(Ω, σ (Ω), μ)

$(\Omega, \sigma(\Omega), \mu)$ .

Ω

$\Omega$ may or may not be well-ordered, and that makes it a pain to deal with. I suppose you're right that

μ

$\mu$ is more fundamental: after all,

F_{X} (x) = μ {ω | X (ω) \leq x} .

$F_X(x) = \mu\{\omega\, |\, X(\omega) \leq x\}.$ But it's difficult to do much interesting with the abstract measure space. On top of that, my students have enough problems with PxFs and CDFs. I don't care to try to teach them measure theory.

— Dennis