CDF bir güce yükseltildi mi?

Eğer $F_Z$ bir CDF, bu gibi görünüyor $F_Z(z)^\alpha$ ( $\alpha \gt 0$ ) gibi bir CDF olup.

S: Bu standart bir sonuç mu?

S: st ile işlevi bulmanın iyi bir yolu var mı , burada $g$ $X \equiv g(Z)$ $F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ $x \equiv g(z)$

Temel olarak, elinde başka bir CDF var, $F_Z(z)^\alpha$ . Bazı azaltılmış form anlamında bu CDF üreten rastgele değişkeni karakterize etmek istiyorum.

DÜZENLEME: özel durumu için analitik bir sonuç alabilsem çok mutlu olurum $Z \sim N(0,1)$ . Veya en azından böyle bir sonucun inatçı olduğunu bilin.

data-transformation cdf quantile-function

— lowndrul
kaynak

Evet, bu oldukça iyi bilinen bir sonuçtur ve genellemesi kolaydır. (Nasıl?) Ayrıca bulabilirsiniz

g

$g$ , en azından dolaylı olarak,. Esasen, rasgele bir dağılımın rastgele çeşitlerini üretmek için yaygın olarak kullanılan ters muhtemelen dönüşüm tekniğinin bir uygulamasıdır.

— kardinal

@cardinal Lütfen cevap verin. Ekip daha sonra düşük cevap oranıyla savaşmadığımızdan şikayet ediyor.

@mbq: Büyük ölçüde anladığım ve saygı duyduğum yorumlarınız için teşekkürler. Bazen zaman ve / veya yerle ilgili düşüncelerin bir yanıt göndermeme izin vermediğini, ancak OP veya diğer katılımcıları başlatabilecek hızlı bir yoruma izin verdiğini lütfen unutmayın. İleride, bir cevap gönderebilirsem, bunu yapacağımdan emin olun. Umarım yorumlarla devam eden katılımım da iyi olur.

— kardinal

@cardinal Bazılarımız da aynı nedenlerden dolayı aynı

— suçluyuz

@brianjd Evet, bu endüstriyel olarak "genelleştirilmiş" dağıtımlar üretmek için kullanılan iyi bilinen bir sonuçtur, bkz . Bunun gibi birçok dönüşüm var ve insanlar bunları bu amaç için kullanıyorlar: parametrik bir dönüşüm buluyorlar, bir dağılıma uyguluyorlar ve voilá, sadece özelliklerini hesaplayarak bir kağıdınız var. Ve elbette, normal ilk 'kurban'.

Yanıtlar:

Diğer cevapları seviyorum, ama henüz kimse bundan bahsetmedi. olayı yalnızca ve yalnızca , bu nedenle ve bağımsız ve ise $\{U \leq t,\ V\leq t \}$ $\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$ $U$ $V$ $W = \mathrm{max}(U,V)$ öylesine bir pozitif tamsayı (örneğin, ) almak 'ler iid $F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ $\alpha$ $\alpha = n$ $X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$ $Z$

For biz almak Switcheroo edebilirsiniz yüzden, maksimum o rasgele değişken böyle olacağını bağımsız kopya ile aynı dağılıma sahiptir (ve bu bizim tanıdık arkadaşlarından biri olmaz , Genel olarak). $\alpha = 1/n$ $F_{Z} = F_{X}^n$ $X$ $n$ $Z$

Örneği pozitif bir rasyonel sayı (örneğin, ) bu yana Önceki aşağıdaki $\alpha$ $\alpha = m/n$

{(F_{Z})}^{m / n} = {(F_{Z}^{1 / n})}^{m} .

$\left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}.$

İçin mantıksız, pozitif rasyonel bir dizi seçim yakınsayan için ; daha sonra dizisi (her bir için yukarıdaki numaralarımızı kullanabileceğimiz ) istenen dağılımına yakınlaşacaktır . $\alpha$ $a_{k}$ $\alpha$ $X_{k}$ $k$ $X$

Bu Aradığınız karakterizasyonu olmayabilir, ama en çok düşünmek nasıl fikir verir için uygun güzel. Öte yandan, ne kadar güzel olabileceğinden gerçekten emin değilim: zaten CDF'ye sahipsiniz, bu yüzden zincir kuralı size PDF'yi verir ve güneş batana kadar anları hesaplayabilirsiniz ...? Çoğu için tanıdık bir olmayacağı doğrudur. $F_{Z}^{\alpha}$ $\alpha$ $Z$ $X$ , ama ilginç bir şey aramak için bir örnekle oynamak isteseydim,,ile ünite aralığında eşit olarak dağıtılmışdeneyebilirim. $\alpha = \sqrt{2}$ $Z$ $F(z) = z$ $0<z<1$

EDIT: @JMS yanıt bazı yorumlar yazdı ve aritmetik hakkında bir soru vardı, bu yüzden daha açık umuduyla ne demek istediğimi yazacağım.

@cardinal doğru @JMS cevap açıklamada yazdığı problem basitleştirir ya da daha genel olarak zaman zorunlu değildir , biz bilgisi

g^{- 1} (y) = Φ^{- 1} (Φ^{α} (y)),

$g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)),$

Z

$Z$

N (0, 1)

$N(0,1)$

x = g^{- 1} (y) = F^{- 1} (F^{α} (y)) .

$x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)).$ Demek istediğim,

güzel bir ters fonksiyonu olduğunda,

fonksiyonu için temel cebir ile çözebiliriz . Yorumda

olması gerektiğini yazdım

F

$F$

y = g (x)

$y = g(x)$

g

$g$

y = g (x) = F^{- 1} (F^{1 / α} (x)) .

$y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)).$

$X$

F (x) = (1 - e^{- x}), x > 0,

$F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0,$

F^{- 1} (y) = - \ln (1 - y) .

$F^{-1}(y) = -\ln(1 - y).$

g

$g$

y = g (x) = - \ln (1 - (1 - e^{- x})^{1 / α})

$y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right)$

X \sim E x p (1)

$X \sim \mathrm{Exp}(1)$

Y = - \ln (1 - (1 - e^{- X})^{1 / α}),

$Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right),$

Y

$Y$

F_{Y} (y) = {(1 - e^{- y})}^{α} .

$F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}.$

P (Y \leq y)

$P(Y \leq y)$

If X \sim F then U = F (X) \sim U n i f (0, 1) .

$\mbox{If $X \sim F$ then $U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1)$.}$

If U \sim U n i f (0, 1) then U^{1 / α} \sim B e t a (α, 1) .

$\mbox{If $U \sim \mathrm{Unif}(0,1)$ then $U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1)$.}$

Simülasyon sonuçlarının şeması aşağıdadır.

Alfa'ya ECDF ve F

Grafiği oluşturmak için kullanılan R kodu (eksi etiketler)

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

Uyum oldukça iyi görünüyor, sanırım? Belki deli değilim (bu sefer)?

Z \sim N (0, 1)

$Z\sim N(0,1)$

g (z) = Φ^{- 1} (Φ^{1 / α} (z))

$g(z) = \Phi^{-1}(\Phi^{1/\alpha}(z))$

Aritmetiğinizi iki kez kontrol etmek iyi olur.

— kardinal

@cardinal errr ... Tamam, yaptım, ... ve doğru mu? Lütfen hatayı belirtir misiniz?

(+1) Özür dileriz. Buna ilk baktığımda kafamın nerede olduğundan emin değilim. Açıkçası (iyi, olmalı!) Doğru.

— kardinal

@ kardinal, zarar yok, faul yok. Ama itiraf ediyorum, beni gerçekten bir dakika terlettin! :-)

Kelimesiz kanıt

resim açıklamasını buraya girin

$F$ $F^\alpha$ $\alpha \lt 1$ $z$ $x = g(z)$

— whuber
kaynak

Güzel resim! S: Bu neyin içine çekildi? TikZ?

— lowndrul

@brianjd: Hatırlarsam @whuber, Mathematica'yı kullanarak çizimlerinin çoğunu yapar.

— kardinal

@cardinal Haklısın. Aslında, kullanışlı olan her şeyi kullanıyorum ve çabucak iyi bir iş çıkarmış gibi görünüyor. FWIW, işte kod:

Module[ {y, w, a = 0.1, z = 3.24, f = ChiDistribution[7.6], xmin=0, xmax=5}, y = CDF[f,z]; w = InverseCDF[f, y^(1/a)]; Show[ Plot[{CDF[f, x],CDF[f,x]^a} , {x, xmin, xmax}, Filling->{1->{2}}], Graphics[{ Dashed, Arrow[{{z,0}, {z,y}}],  Arrow[{{z,y}, {w,y}}], Arrow[{{w,y}, {w,0}}] }] ] ]

— whuber

$\alpha>1$

$F_z(z)^\alpha$ $1$ $0$ $F_z$

S2) olmadıkça analitik olarak oldukça zor olacak gibi görünüyor $F_Z$

— JMS
kaynak

Z \sim N (0, 1)

$Z \sim N(0,1)$

g

$g$

g^{- 1}

$g^{-1}$

Φ^{α} (u) = P (g (Z) \leq u) = P (Z \leq g^{- 1} (u)) = Φ (g^{- 1} (u))

$\renewcommand{\Pr}{\mathbb{P}}\Phi^{\alpha}(u) = \Pr(g(Z) \leq u) = \Pr( Z \leq g^{-1}(u)) = \Phi(g^{-1}(u))$

g^{- 1} (u) = Φ^{- 1} (Φ^{α} (u))

$g^{-1}(u) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(u))$

g

$g$

g

$g$

F_{Z}

$F_Z$

Z \sim U [0, 1]

$Z \sim \mathcal{U}[0,1]$

B e t a (a, 1)

$Beta(a, 1)$

B e t a (a α, 1)

$Beta(a\alpha, 1)$