Rasgele değişkenler neden fonksiyonlar olarak tanımlanır?

Rastgele değişken kavramını fonksiyon olarak anlamakta sorunlar yaşıyorum. Mekaniği anlıyorum (sanırım) ama motivasyonu anlamıyorum ...

Diyelim ki bir olasılık üçlüsüdür , burada , bu aralıktaki Borel- cebiri ve normal Lebesgue ölçüsüdür. Let rasgele bir değişken için öyle ki , , ..., , bu nedenle , 1'den 6'ya kadar değerler üzerinde ayrı bir düzgün dağılıma sahiptir. Ω = [ 0 , 1 ] B σ P x B { 1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6 } X ( [ 0 , 1 / 6 ) ) = 1 x ( [ 1 / 6 , 2 / 6 ) ) = $(\Omega, B, P)$$\Omega = [0,1]$$B$$\sigma$$P$$X$$B$$\{1,2,3,4,5,6\}$$X([0,1/6)) = 1$$X([1/6,2/6)) = 2$$X([5/6,1]) = 6$$X$

Doğrudan olarak eşdeğer özellikte inşa olabilirdi ... Hepsi iyi, ama üçlü orijinal olasılık gerekliliğini anlamıyorum nerede alanın tüm uygun cebiri ve her alt kümeye (öğe sayısı) / 6 atayan bir ölçüdür. Ayrıca seçimi oldum olabilir arbitrary-- oldu veya başka bir set.$(\{1,2,3,4,5,6\}, S, P_x)$$S$$\sigma$$P_x$$\Omega=[0,1]$$[0,2]$

Öyleyse sorum, neden cebiri ve bir ölçü ile rastgele bir oluşturmaya ve rastgele bir değişkeni cebirinden gerçek çizgiye bir harita olarak tanımlamaya çalışıyorsunuz ? σ $\Omega$$\sigma$$\sigma$

Çok daha basit bir şey yeterli olduğunda tüm bu makinelerin neden kullanıldığını merak ediyorsanız - en yaygın durumlar için haklısınız. Bununla birlikte, olasılığın ölçü-teorik versiyonu Kolmogorov tarafından, bazı durumlarda çok soyut ve karmaşık olasılık alanlarını ele alabilecek kadar genel bir teori oluşturmak amacıyla geliştirilmiştir. Aslında, Kolmogorov'un olasılık için ölçüm teorik temelleri sonuçta olasılıksal araçların orijinal amaçlanan uygulama alanlarının çok ötesinde harmonik analiz gibi alanlara uygulanmasına izin verdi.

İlk başta, herhangi bir "altta yatan" -algebra atlamak ve önerdiğiniz gibi doğrudan örnek uzayını içeren olaylara olasılık kitleleri atamak daha basit görünmektedir . Gerçekten de, olasılıkçılar tarafından tanımlanan örnek uzayında "uyarılmış ölçüm" ile çalışmayı seçtiklerinde aynı şeyi etkili bir şekilde yaparlar . Bununla birlikte, sonsuz boyutlu uzaylara girmeye başladığınızda işler zorlaşmaya başlar. Adil paraları saygısız duruma getirmek için Büyük Sayıların Güçlü Kanununu kanıtlamak istediğinizi varsayalım (yani, para çevirme sayısı sonsuza kadar giderken kafaların oranı keyfi olarak 1/2'ye yakındır). Bir oluşturmayı deneyebilirsinizΩ p ∘ X - 1 σ ( lH , t , H , . . . ) Ω = [ 0 , 1 ) $\sigma$$\Omega$$P \circ X^{-1}$$\sigma$- formun sonsuz dizileri (cebir, kümesinde cebir . Ancak burada altta yatan alanı olarak almanın çok daha uygun olduğunu görebilirsiniz ; ve daha sonra madeni para dizilerini (1 kafa, 0 kuyruk) gösteren gerçek sayıların ikili (örn. ) kullanın. Bu örneğin bir örneği Billingsley'in Olasılık ve Ölçün .$(H,T,H,...)$$\Omega = [0,1)$$0.10100...$

cebirleri ile ilgili konular , neden bir arka plan boşluğuna ihtiyacımız olup olmadığını gerçekten açıklamamış olan matematiksel inceliklerdir . Gerçekten de, arka plan alanının bir zorunluluk olduğuna dair zorlayıcı bir kanıt olmadığını söyleyebilirim. Herhangi olasılık kurulum için ( E , E , μ ) E örnek alan, bir E σ cebiri ve μ bir olasılık ölçüsü, faiz ise u ve hiçbir soyut nedeni istedikleri vardır μ görüntü tedbir olmak ölçülebilir bir harita X'in haritası : ( Ω , $\sigma$$(E, \mathbb{E}, \mu)$$E$$\mathbb{E}$$\sigma$$\mu$$\mu$$\mu$ .$X : (\Omega, \mathbb{B}) \to (E, \mathbb{E})$

Bununla birlikte, bir arka plan alanının kullanılması , birçok sonucun daha doğal ve sezgisel görünmesini sağlayan matematiksel kolaylık sağlar. Objektif hakkında bir şeyler söylemek her zaman , dağıtım ve X , ama daha kolay ve daha net olarak ifade olabilir X .$\mu$$X$$X$

Merkezi limit teoremi ile bir örnek verilmiştir. Eğer gerçek ortalama ile değerli iid ^ ı ve varyans σ 2 o CLT diyor P ( $X_1, \ldots, X_n$$\mu$$\sigma^2$ buradaΦstandart normal dağılım için dağıtım işlevidir. Xi'nindağılımıμise,hesaplamaaçısından karşılık gelen sonuç ρ

$$P\left(\frac{\sqrt{n}}{\sigma} \left(\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i - \xi\right) \leq x \right) \to \Phi(x)$$ $\Phi$$X_i$$\mu$ . terminolojinin bazı açıklanması gereklidir^ ı*Nkastettiğimiznarasında -times kıvrım^ ı(toplamın dağılımı). fonksiyonlarıρcdoğrusal fonksiyonlardırρc(x)=cxve $$\rho_{\sqrt{n}/\sigma} \circ \tau_{\xi} \circ \rho_{1/n}(\mu^{*n})((-\infty, x]) \to \Phi(x)$$ $\mu^{*n}$$n$$\mu$$\rho_c$$\rho_c(x) = cx$ , τ ξ ( x ) = x - ξ çevirisidir. Muhtemelen ikinci formülasyona alışabiliriz, ancak her şeyin ne olduğunu gizlemekte iyi bir iş çıkarır.$\tau_{\xi}$$\tau_{\xi}(x) = x - \xi$

Sorun şu ki, CLT'de yer alan aritmetik dönüşümler rastgele değişkenler açısından oldukça açık bir şekilde ifade ediliyor, ancak önlemler açısından çok iyi tercüme edilmiyorlar.

Ben sadece son zamanlarda Rastgele Değişken düşünmek bu yeni bir yol üzerinde tökezledi yanı sıra arka plan uzay hakkında Q . Matematiksel bir neden olmadığı için aradığınız sorunun bu olup olmadığından emin değilim, ancak RV'leri düşünmek için çok düzgün bir yol sağladığını düşünüyorum.$X$$\Omega$

Bozuk para attığımız bir durum düşünün. Bu deney düzeneği, madalyonun nasıl atıldığının fiziksel tanımını içeren bir dizi olası başlangıç ​​koşulundan oluşur. Arka plan alanı tüm bu olası başlangıç ​​koşullarından oluşur. Sadelik için madalyonun sadece hızda değiştiğini varsayabiliriz, o zaman $\Omega = [0,v_{max}]$

Rastgele değişken daha sonra her başlangıç ​​durumunu ω ∈ Ω , deneyin karşılık gelen sonucuyla, yani kuyruk ya da kafa ile eşleyen bir fonksiyon olarak düşünülebilir .$X$$\omega \in \Omega$

RV için: ölçü S tekabül sonra olur X ile temsil edilen deneyin dinamikleriyle birlikte başlangıç ​​koşulları üzerindeki olasılık ölçüsüne$X:([0,v_{max}], B\cap [0,v_{max}], Q)\to (\{0,1\}, 2^{\{0,1\}})$$Q$$X$ Sonuçlar üzerindeki olasılık dağılımını belirler.

Bu fikre referans olarak Tim Maudlin'in veya Micheal Strevens'in "Fizikte Olasılıklar" bölümlerine (2011) bakabilirsiniz.