Pearson Chi Squared İstatistiği bir Chi Squared Dağılımına nasıl yaklaşır?

10

Bu nedenle, tablosu için Pearson Chi Squared İstatistiği verilirse , formu şu şekildedir: $1 \times N$

\sum_{i = 1}^{n} \frac{(O_{i} - E_{i})^{2}}{E_{i}}

$\sum_{i=1}^n\frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$

Daha sonra bu , serbestlik dereceli Chi-Squared Dağılımına yakındır , çünkü numune boyutu büyür. $\chi_{n-1}^2$ $n-1$ $N$

Anlamadığım şey, bu asimtotik yaklaşımın nasıl çalıştığıdır. Paydadaki 'nin ile değiştirilmesi gerektiğini hissediyorum $E_i$ . Bu verecek beri için,. Ama elbette bunundeğil,serbestlik derecesi var, bu yüzden açıkça başka bir şey oluyor. $\frac{s_i^2}{n_i}$ $\chi_n^2 = \sum_{i=1}^nZ_i^2$ $Z_i\sim n(0,1)$ $n$ $n-1$

chi-squared asymptotics

— Thoth
kaynak

Her ne kadar bu sorunuza cevap vermez , üzerinde bazı ışık tutabilir.

— whuber

11

Bunu sezgisel olarak motive edeceğim ve binom için normal yaklaşımı kabul etmekten mutluluk duyduğunuzu varsayarak, iki grubun özel durumu için nasıl ortaya çıkacağını göstereceğim.

Umarım bu neden işe yaradığına dair iyi bir fikir edinmeniz için yeterli olacaktır.

Ki-kare uyum iyiliği testinden bahsediyorsunuz. Diyelim ki grupları var ( , ama bunu olarak adlandırmayı tercih etme nedenim var ). $k$ $n$ $k$

Bu durum için uygulanan modelde , sayıları vardır multinomial . $O_i$ $i=1,2,...,k$

Let . Sayımlar toplam koşullandırılmıştır (oldukça nadir durumlar hariç); ve her kategori için önceden belirlenmiş bazı olasılıklar kümesi vardır, , bu sayı . $N=\sum_{i=1}^k O_i$ $N$ $p_i, i=1, 2, \ldots,k$ $1$

Binomda olduğu gibi, multinomlar için asimptotik normal bir yaklaşım vardır - gerçekten de, sadece belirli bir hücredeki ("bu kategoride") sayımı düşünürseniz, o zaman binom olur. Tıpkı binomda olduğu gibi, sayımların varyansları (ayrıca multinomiyaldeki kovaryansları) ve 'nin fonksiyonlarıdır; bir varyansı ayrı olarak tahmin etmezsiniz. $N$ $p$

$E_i=Np_i$ $N$ $k-1$ $k-1$ $Np_i(1-p_i)$ $-Np_ip_j$ $k-1$

$\text{Var}(O_i)=Np_i(1-p_i)$ $z_i = \frac{O_i-E_i}{\sqrt{E_i(1-p_i)}}$ $z_i$ $\chi^2_k$ $k-1$ $k$ $\chi^2_{k-1}$ $k-1$

$p_1=p$ $p_2=1-p$ $X = O_1$ $N-X=O_2$

$X$ $\text{N}(Np,Np(1-p))$ $z=\frac{X-Np}{\sqrt{Np(1-p)}}$ $z^2 = \frac{(X-Np)^2}{Np(1-p)}$ $\sim \chi^2_1$ $\sim \chi^2_1$

Dikkat edin

$\sum_{i=1}^2 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} = \frac{[X-Np]^2}{Np}+ \frac{[(N-X)-(N-Np)]^2}{N(1-p)}= \frac{[X-Np]^2}{Np}+ \frac{[X-Np]^2}{N(1-p)}=(X-Np)^2[\frac{1}{Np}+ \frac{1}{N(1-p)}]$

Fakat

$\frac{1}{Np}+ \frac{1}{N(1-p)} =\frac{Np+N(1-p)}{Np.N(1-p)} = \frac{1}{Np(1-p)}$

$\sum_{i=1}^2 \frac{(O_i-E_i)^2}{E_i} =\frac{(X-Np)^2}{Np(1-p)}$ $z^2$ $\chi^2_1$ $E_i$ $E_i(1-p_i)$

$\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i}$ $\frac{(O_i-E_i)^2}{E_i(1-p_i)}$ $k$ $k-1$

$\chi^2_{k-1}$ $k$

— Glen_b-Monica'yı eski durumuna döndür
kaynak

Teşekkürler, bu mantıklı. Bu, beklenen değere bölünmek için çok iyi çalıştığı matematiksel bir tesadüf / kaza meselesi mi? ya da bunun neden böyle olması gerektiğine dair sezgisel bir istatistiksel açıklama var mı?

— Thoth

z

$z$

E_{i}

$E_i$

E_{i}

$E_i$

k - 1

$k-1$

0

$T^2$ $k-1$ $k-1$

— dohmatob
kaynak