Koşullu olasılık için sezgi nasıl geliştirilir?

Harvard'ın iTunes ve YouTube'da bulunan İstatistik 110: Olasılık kursunun video derslerinde bu sorunla karşılaştım . Burada özetlemeye çalıştım:

Standart bir desteden rastgele iki kartlı bir el verildiğimizi varsayalım.

1. En az bir asımız olduğu için her iki kartın da as olma olasılığı nedir?

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces, have\ ace)}{P(have\ ace)}$$

Her iki asınız varsa en az bir as olması gerektiği için, kavşak sadece P'ye düşürülebilir ( b o t h a c e s )$P(both\ aces)$

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{P(both\ aces)}{P(have\ ace)}$$

Bu o zaman sadece

$$P(both\ aces | have\ ace) = \frac{4C2\ /\ 52C2}{1-48C2\ /\ 52C2}=\frac{1}{33}$$

2. Maça asımız olduğu için her iki kartın da as olma olasılığı nedir?

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{P(both\ aces, have\ ace\ of\ spades)}{P(have\ ace\ of\ spades)}$$

$$P(both\ aces | have\ ace\ of\ spades)=\frac{(3C1*1C1)\ /\ 52C2}{2!*\frac{51}{52}*\frac{1}{51}}=\frac{1}{17}$$

Şimdi, bu örnekler boyunca bir yerlerde kayboldum ...

İkincisi açıkça 3 ile aynı , bu da bunun benim için çok mantıklı olduğunu düşünüyorum. Eğer maça asınız olduğu söylenirse,3as daha ve51kartdaha olduğunu bilirsiniz.$\frac{3}{51}$$3$$51$

Ama önceki örnekte, matematik iyi görünüyor (ve öğretim görevlisinin yanlış olması durumunda bu örneği vermeyeceğine inanıyorum ...), ama başımı bunun etrafına saramıyorum.

Bu sorun için nasıl sezgi alabilirim?

Sezgiye yardımcı olmak için iki olayı (sonuç kümeleri) görselleştirmeyi düşünün:

1. Koşullama olayı, verilen bilgidir.

2. Olasılığını bulmak istediğiniz koşullu olay.

Koşullu olasılık, ikincinin şansını birincinin şansına bölerek bulunur.

---

Orada rastgele iki kart başa eşit olasılıkla yollar. Bu anlaşmaları görselleştirmenin kolay bir yolu, onları, dağıtılan ilk kartı belirleyen ve anlaşmada ikinci kartı gösteren sütunları içeren bir tabloya yerleştirmektir. İşte bu tablonun bir parçası, elipsler ( ⋯ ) eksik parçaları belirtiyor . İki kart aynı olamayacağından, tablonun ana köşesinde herhangi bir giriş bulunmadığına dikkat edin. Sıralar ve sütunlar aslardan krallara kadar sıralanır:$52 \times 51$$\cdots$

Sorular aslara odaklanıyor. "En az bir asımız var" bilgisi, çifti ilk dört satırın veya ilk dört sütunun içine yerleştirir. Aklımızda bu satırları ve sütunları renklendirerek şematik olarak görselleştirebiliriz. Onları kırmızı renklendirdim, ama her iki asın göründüğü yerde onları siyah renklendirdim:

$2\times 6 = 12$$2\times (4\times 48) = 384$$12+384=396$

$$\frac{12}{396} = \frac{1}{33}.$$

Kırmızı + siyah bölgenin siyah kesiridir.

İkinci soru "maça asımız var" diye soruyor. Bu yalnızca ilk satıra ve sütuna karşılık gelir :

Şimdi sadece $2\times 3 = 6$ iki aslı bu çiftler ve $2\times 48=96$ maça ası ile diğer çiftler, toplam $96+6 = 102$böyle çiftler. Daha önce olduğu gibi düşünmek, iki asın şansı

$$\frac{6}{102} = \frac{1}{17}.$$

Yine kırmızı + siyah bölgenin siyah kesiridir.

Referans olarak, son şekil pembe ve gri ile gösterilen öncekini içerir. Bu bölgeleri karşılaştırmak ne olduğunu ortaya çıkarır: ilk sorudan ikinciye geçerken, koşullandırma olayındaki (pembe) çift sayısı orijinal sayımının yaklaşık dörtte birine (kırmızı) düşerken, söz konusu çift sayısı düştü sadece yarıya kadar (griden siyaha,$12$ için $6$).

---

Bu tür şematik rakamların, belki de özellikle , sigma cebirlerinin filtrelenmesi gibi daha karmaşık olasılık kavramlarını anlamaya çalışırken bile yardımcı olduğunu buldum .

İkinci hesaplamaya yol açan bir sorun oluşturmanın farklı bir yolu şudur:

Desteden iki kart çekersiniz. Çektiğiniz ilk kartın as olması nedeniyle iki asın olasılığı nedir ?

Bu ifade, ilk hesaplama ile kontrast oluşturmayı kolaylaştırır. İki as seçmenin altında yatan şans değişmez, ancak ilk asın kartı as olarak kabul etme koşulu, as olması durumunda koşuldan daha kısıtlayıcıdır. Bu, koşullu olasılık hesaplamasında istenen kombinasyonun daha az seçenek arasında olması gerektiği anlamına gelir, bu nedenle daha büyük bir olasılık vardır.

İki farklı cümle (maça ası ve as olarak ilk karta karşı) benzerdir, çünkü aslar arasındaki simetri / değiştirilebilirliği kırarlar: takım elbise veya sipariş keyfi olarak değiştirilemez.

Başlangıçta biraz sezgiye sahip olmak benim için zor oldu.

Bir fikir, sorunu sınıra getirmektir. Bu durumda Steve'in belirttiği gibi aynı sorunlardan biri: Komşumun iki çocuğu var - bunlardan birinin erkek olduğunu biliyorsunuz. İki çocuğu olma olasılığı nedir?

İlk fikir, tamam, bir oğlum var, diğer çocuğun kız olmak için 1/2 şansı ve erkek olmak için 1/2 şansı var, ama bu durumda size gerçeği veren tüm bilgileri almıyorsunuz ( en azından bir oğlunuz var) çünkü bu çocuğun en büyük çocuk olabileceği ima ediliyor.

Söylediğim gibi, bu sorunu daha da sınırlandırmak daha kolay ...

Vaka 1: "Bir asımız var" ile özdeş olan soyut vaka - Bu durumda, komşumun 2 çocuğu değil 27 olduğunu ve 26'nın erkek olduğunu biliyorsunuz, bunun olasılığı neredeyse sıfır. Bu durumda, bu bilginin size kalan çocuğun olasılıkla konuşan bir kız olduğu hakkında birçok bilgi verdiği açıktır. Kesin olmak gerekirse, 27 erkek ile bir vakanız olacak, diyelim ki bir demet (b, b, b, b, b, b ..., b) ve 1 kız ve 26 erkek (g, b, b) ile 27 vaka , b ...), (b, g, b, b, b ...), bu yüzden tüm erkek çocukların olasılığı 1/27, genel olarak 1 / (N + 1) olacak

case2: Somut bilgiler. Bu, "Maça asımız var" veya "ilk kart as olur" ile aynıdır. Bu durumda komşumuzun tüm erkek çocuklarının 26 çocuğu olduğunu ve 27'sine hamile olduğunu hayal edin. 27'inci çocuk olma olasılığı nedir?

Case2 ile hepimizin bu kadar açık olmayan koşullu olasılık problemleri için gereken sezgiyi kavrayabileceğinden eminim.

Zengin olmak istiyorsanız, ilk vakaya 26 erkek ve 27. nerede bahis yapılacağını bilmek için bilgi değil.

Ben bunun yararlı olucağını umuyorum

Cevap hesaplanmadan 3/51 olduğunu nasıl anlayabiliriz?

İlk etapta maça asını aldıysanız. Pakette hangi kartların olduğunu biliyorum. Yani 51 kartta stil 3 as var. yani ikincisi için iki aslı 3/51 şansınız var.

Ve iki senaryo arasındaki farkı sezgisel olarak nasıl anlayabilirim?

Çünkü "bir asınız var", "İki asınız var" a dahil edilmiştir. Ama "Maça ası var", "İki as var" içine dahil değildir. Aradaki fark bu.

Aslında, iki asınız varsa, maça asınız var ama belki de değil. Yani aynı olasılık değil.

Bu cevap, bu konuya taşınan başka bir yazı içindi.