Periyodik verileri neredeyse periyodik verilerden ayırt etmek için test

Süreklilik gibi bazı makul koşulları yerine getirmeyi bildiğim etki alanı ile ilgili bilinmeyen bazı fonksiyonum olduğunu varsayalım . I tam değerlerinin bilinmesi f bazı eşit uzaklıkta numuneleme noktalarında (veri, bir simülasyon geldiği için) t_i = T_0 + iΔt ile i∈ {1, ..., n \} \ , tüm yakalamak için yeterince iyi olduğu farz hangi ilgili yönleri f , örneğin, ben en az bir yerel ekstremum olduğunu varsayabiliriz f iki örnekleme noktaları arasında yer. Verilerimin f'nin tam olarak periyodik olmasıyla uyumlu olup olmadığını söyleyen bir test arıyorum , yani :τ: f (t + τ) = f (t) \, ∀ \, t$f$$ℝ$$f$$t_i=t_0 + iΔt$$i∈\{1,…,n\}$$f$$f$$f$$∃τ: f(t+τ)=f(t) \,∀\,t$, dönem uzunluğu biraz yankılanabilir, örneğin $Δt < τ < n·Δt$ (ancak gerekirse daha güçlü kısıtlamalar yapabileceğim düşünülebilir).

Başka bir bakış açısından, verilerim var ${x_0, …, x_n}$ ve f (t_i) = x_i ∀ i olacak şekilde periyodik bir fonksiyon $f$ (yukarıdaki koşulları yerine getirme) olup olmadığı sorusunu cevaplayan bir test arıyorum .$f(t_i)=x_i ∀ i$

Önemli olan nokta $f$ en azından periyodikliğe çok yakın olmasıdır (örneğin $f(t) := \sin(g(t)·t)$ veya $f(t) := g(t)·\sin(t)$ ile $g'(t) ≪ g(t_0)/Δt$ küçük bir miktar bir veri noktasını değiştirmeden veriler ile uyumlu hale getirmek için yeterli olabileceğini ölçüde) $f$ tam olarak periyodik olarak. Bu nedenle, Fourier dönüşümü veya sıfır geçişi analiz etme gibi frekans analizi için standart araçlar pek yardımcı olmaz.

Aradığım testin muhtemelen olasılıklı olmayacağını unutmayın.

Böyle bir testin nasıl tasarlanacağına dair bazı fikirlerim var ama tekerleği yeniden icat etmekten kaçınmak istiyorum. Bu yüzden mevcut bir test arıyorum.

Söylediğim gibi, bunun nasıl yapılacağı hakkında bir fikrim vardı, bu konuda bir makale yazdım, rafine ettim ve yazdım, şu anda yayınlandı: Kaos 25, 113106 (2015) - ArXiv üzerine ön baskı .

Araştırılan kriter, soruda çizilenle neredeyse aynıdır: zaman noktalarında örneklenen veriler , test fonksiyonunun olup olmadığına karar verir ve bir öyle ki:$x_1, \ldots, x_n$$t_0, t_0 + Δt, \ldots, t_0 + nΔt$$f: [t_0, t_0 + Δt] → ℝ$$τ ∈ [2Δt,(n-1)Δt]$

• $f(t_0 + iΔt)=x_i\quad \forall i∈\{1,…,n\}$
• $f(t+τ)=f(t) \quad∀t∈[t_0, t_0 + Δt-τ]$
• $f$ , her birinin başlangıcına ve sonuna yakın olası en fazla bir ekstremum hariç olmak üzere, sekansından daha fazla lokal ekstremaya sahip değildir .$x$$f$

Test, simülasyon yönteminin sayısal hataları gibi küçük hataları hesaba katacak şekilde değiştirilebilir.

^{Umarım makalem de neden böyle bir testle ilgilendiğimi cevaplar.}

Ayrık Fourier dönüşümü (DFT) kullanarak verileri frekans alanına dönüştürün. Veriler mükemmel şekilde periyodikse, yüksek değere sahip tam olarak bir frekans kutusu olacaktır ve diğer kutular sıfır olacaktır (veya sıfıra yakın, bkz. Spektral sızıntı).

Frekans çözünürlüğünün tarafından verildiğini unutmayın . Bu, algılama hassasiyeti için limiti belirler.$\frac{\text{sampling frequency}}{\text{Number of samples}}$

Gerçek periyodik sinyali biliyorsanız,

$\text{difference} = \Big|\text{theoretical data} - \text{measured data}\big|$

Sonra öğelerini . Bir eşiğin üzerindeyse (kayan nokta aritmetiği hatasını dikkate alın) veriler periyodik değildir.$\text{difference}$