İçin minimum varyansa sahip sınırsız tahmin edici

İzin Vermek $X_1, ...,X_n$ rastgele bir örnek olmak $Geometric(\theta)$ için $0<\theta<1$ . yani,

p_{θ} (x) = θ (1 - θ)^{x - 1} {ben}_{{1, 2, . . .}} (x)

$p_{\theta}(x)=\theta(1-\theta)^{x-1} I_{\{1,2,...\}}(x)$

İçin minimum varyansa sahip tarafsız tahmin ediciyi bulun $g(\theta)=\frac{1}{\theta}$

Girişimim:

Geometrik dağılım üstel aileden geldiğinden, istatistikler

Σ X_{ben}

$\sum X_i$ için tam ve yeterli

θ

$\theta$ . Ayrıca eğer

T (X) = X_{1}

$T(X)=X_1$ için bir tahmin edicidir

g (θ)

$g(\theta)$ , tarafsızdır. Bu nedenle Rao-Blackwell teoremi ve Lehmann-Scheffé Teoremi ile,

W (X) = E [X_{1} | Σ X_{ben}]

$W(X) = E[X_1|\sum X_i]$ aradığımız tahmin edicidir.

Şunlara sahibiz:

$W(X) = \sum_{i=1}^t i\, P(X_1=i|\sum X_i =t) = \sum_{i=1}^t i\, \frac{P(\sum_{i \geq 2} X_i =t-i)P(X_1=i)}{P(\sum_{i \geq 1}X_i =t)}$

Değişkenler geometrik olduğu için, toplam dağılımları her ikisi de negatif binomlardır. Ama binom katsayılarını basitleştirmek ve mümkünse daha iyi bir formla son bir cevap vermek için sıkıntı yaşıyorum.Biraz yardım alabilirsem memnun olurum.

Teşekkürler!

Düzenleme: Ben şüphe anlamak çocuklar sanmıyorum: Ithink Ben doğru adımları tüm yaptı, belki sadece bazı gösterge fonksiyonu unuttum. İşte yaptığım şey:

. . . = Σ_{ben = 1}^{t} ben \frac{(\binom{t - ben - 1}{n - 2}) θ^{n - ben} (1 - θ)^{t - ben - n + 1} θ (1 - θ)^{ben - 1}}{(\binom{t - 1}{n - 1}) θ^{n} (1 - θ)^{t - n}} = Σ_{ben = 1}^{t} ben \frac{(\binom{t - ben - 1}{n - 2})}{(\binom{t - 1}{n - 1})}

$...=\sum_{i=1}^ti\frac{\binom{t-i-1}{n-2}\theta^{n-i}(1-\theta)^{t-i-n+1} \theta(1-\theta)^{i-1}}{\binom{t-1}{n-1}\theta^n(1-\theta)^{t-n}}=\sum_{i=1}^t i \frac{\binom{t-i-1}{n-2}}{\binom{t-1}{n-1}}$

Söylediğim gibi, bunu basitleştirmek ve somatory indeksi ile ilgili sorunlar yaşıyorum

— Giiovanna
kaynak

Gerçekten bir Geometrik değişkeni için , ve Rao-Blackwell teoremi benzersiz minimum sapma tarafsız tahmin . Ancak bu koşullu beklentiyi doğrudan hesaplamak yerine dolayısıyla arada, şunu unutmayın: ${\cal G}(\theta)$ $X$

E_{θ} [X] = 1 / θ = g (θ)

$\mathbb{E}_\theta[X]=1/\theta=g(\theta)$

\hat{θ} (T) = E_{θ} [X_{1} | Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben} = T]

$\hat{\theta}(T)=\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben} = T] = ... = E_{θ} [X_{n} | Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben} = T]

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\ldots=\mathbb{E}_\theta\left[X_n\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]$

E_{θ} [X_{1} | Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben} = T] = \frac{1}{n} Σ_{ben = 1}^{n} E_{θ} [X_{ben} | Σ_{ben = 1}^{n} X_{ben} = T] = \frac{T}{n}

$\mathbb{E}_\theta\left[X_1\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n \mathbb{E}_\theta\left[X_i\Bigg|\sum_{i=1}^n X_i=T\right]=\frac{T}{n}$

\sum_{j \geq 2} X_{j}

$\sum_{j\ge 2} X_j$ , Negatif Binom dolayısıyla nihai toplam olmak

N e g (n - 1, θ)

$\cal{N}eg(n-1,\theta)$

P (\underset{j \geq 2}{Σ} X_{j} = m) = (\binom{m - 1}{n - 2}) θ^{n - 1} (1 - θ)^{m - n + 1} {ben}_{m > n - 1}

$\mathbb{P}\left(\sum_{j\ge 2} X_j=m\right)={m-1\choose n-2}\theta^{n-1}(1-\theta)^{m-n+1}\mathbb{I}_{m>n-1}$

Σ_{ben = 1}^{t - n + 1} ben (\binom{t - ben - 1}{n - 2}) / (\binom{t - 1}{n - 1})

$\sum_{i=1}^{t-n+1} i {\binom{t-i-1}{n-2}}\bigg/{\binom{t-1}{n-1}}$

— Xi'an
kaynak