İki Pareto dağıtımının eklenmesiyle sonuçlanan dağıtım

Ben formunun iki (veya daha fazla) tip-one Pareto dağılımı eklemede hangi dağılımın sonucunu merak ediyorum . Deneysel olarak, alfa farkına asimptotik olan iki modlu bir güç yasasına benziyor. $x^{-\alpha}$

distributions power-law pareto-distribution

— AMG
kaynak

Son açıklama, dağılımlar arasında farklı olan alfaları düşündüğünüz gibi ses çıkarıyor. Dağıtımların alan adlarını (diğer adıyla "ölçekler") düzeltecek misiniz? Hızlı bir Mathematica hesaplama PDF içerir gösterir koşullarını biri olan bir ürün olarak

ve Beta farkı

dağılımı

ve Beta dağılımında

için tek modlu değildir.

x^{- α - β}

$x^{-\alpha-\beta}$

(- α, 1 - β)

$(-\alpha,1-\beta)$

1 - 1 / x

$1-1/x$

1 / x

$1/x$

0 < α < β < 1

$0\lt\alpha\lt\beta\lt 1$ . Bu sonuç daha büyük

, bu nedenle ilgilendiğiniz parametrelerin olası değerleri üzerinde herhangi bir sınır var mı?

α

$\alpha$

β

$\beta$

— whuber

Aşağıdaki makale CDF'nin

— RUser4512

Biraz daha okunabilir olacak şekilde düzenlendi. Dağıtımlar evrişim ile eklenir. Pareto dağılımı, için ve için 0 olarak tanımlanan . İki Pareto fonksiyonunun ve evrişimi : $k^a x^{-a-1}$ $x\geq k$ $x<k$ $k^a x^{-a-1}$ $j^b x^{-b-1}$

a (- 1)^{- b} b k^{a} j^{b} Γ (a + b + 1) \times ({(\frac{1}{t - j})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{t - j}) - {(\frac{1}{k})}^{a + b + 1}_{2} {\tilde{F}}_{1} (b + 1, a + b + 1; a + b + 2; \frac{t}{k})),

$a (-1)^{-b} b k^a j^b \Gamma (a+b+1) \times \\ \left(\left(\frac{1}{t-j}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{t-j}\right)- \\ \left(\frac{1}{k}\right)^{a+b+1} \, _2\tilde{F}_1\left(b+1,a+b+1;a+b+2;\frac{t}{k}\right)\right),$

burada için ve 0 , bu terim içindeki karmaşık alan olmasına rağmen, bunun dışında gerçek değerlenir. Hipergeometrik2F1 Burada Mathematica kodunda düzenlenmiştir. Parametreler için tüm seçenekler pozitif değerli yoğunluk fonksiyonları vermeyecektir. İşte ne zaman pozitif olduklarına bir örnek. İki Pareto dağılımı için a = 2, b = 3, j = 0.1 ve k = 0.3 olsun. ve grafikleri {k, a} işlevi için mavi ve {j, b} işlevi için turuncu renktedir. Onların kıvrımları grafiksel olarak, kuyruklar incelendiğinde yeşilin kıvrım olduğu yere benziyor . $j+k<x$ $x\leq j+k$ $\, _2\tilde{F}_1(w,x;y;z)$

Sorunuzdan, iki Pareto dağılımının sıradan eklenmesini soruyor olabilirsiniz. Bu durumda, eğrinin altındaki alan iki, bu nedenle toplam, bir eğrinin altında bir alana sahip olması gereken bir yoğunluk fonksiyonu değildir. Ancak, bu daha sonra bir soru ise için basitleştirir , yalnızca olduğunda sınırına sahiptir ve diğer tüm durumlarda 0 veya sonsuzdur. Başka bir deyişle, iki Pareto dağılımının aritmetik toplamı yalnızca olduğunda ve arasındaki farka sahiptir. $\frac{a k^a t^{-a-1}+b j^b t^{-b-1}}{t^{a-b-1}}$ $b>a>0$ $t^{-2 a} \left(b t^a j^b+a k^a t^b\right)$ $a k^a$ $b=2a$ $a$ $b$ $b=2a$ ve aritmetik toplam bir yoğunluk fonksiyonu değildir ve toplamın bir yoğunluk fonksiyonu olabilmesi için iki olasılık için ölçeklendirilmesi gerekir: . Her ne kadar başka bir yoğunluk fonksiyonu tanımlamak için yoğunluk fonksiyonlarının aritmetik eklenmesi gerçekleşse de, bu olağandışıdır. Bunun bir örneği, bir yoğunluk fonksiyonunu tanımlamak için iki veya daha fazla üstel dağılımın toplamının kullanıldığı farmakokinetikte meydana gelir. Uzun bir hikaye kısaca anlatmak gerekirse, bu tavsiye edeceğim bir şey değil. $1=p+q$

Umarım bu soruya cevap verir. Başlamazsa, lütfen yanıtıma itiraz edin veya lütfen biraz daha bilgi ekleyin.

— Carl
kaynak

@gung Temizlik için teşekkürler. Bunun için benden gerekli görgü kuralları var mı? Temizlik için itibar kazanılıyor mu, yoksa iyi niyet mi?

— Carl

Bir şey değil, @Carl. Ününüz <2k (?) İse, bir düzenleme önerdiğinizde ve onaylandığında, +2 alırsınız. Bundan sonra, düzenlemeler size hiçbir şey getirmez. Temsilciye ihtiyacım yok, bu yüzden sorun değil. Burada cevabınız iyi (+1), okumayı biraz daha kolaylaştırmak için düzenledim.

— gung - Monica'yı eski