Bir topu art arda seçip işaretleyerek top sayısını tahmin etme

Diyelim ki bir çantada N topum var. İlk çektiğimde, topu işaretliyorum ve yerine koyuyorum. İkinci çektiğimde, işaretli bir top alırsam çantaya iade ederim. Bununla birlikte, işaretlenmemiş bir topu alırsam, işaretler ve torbaya geri gönderirim. Buna herhangi bir çekiliş için devam ediyorum. Bir dizi çekiliş ve işaretli / işaretsiz çekiliş geçmişi verildiğinde, torbadaki beklenen top sayısı nedir?

İşte bir fikir. İzin Vermek$\mathcal{I}$ doğal sayıların sonlu bir alt kümesi olabilir. $N$. Varsayalım ki,$\mathcal{I}$. Rastgele olmayan pozitif bir tamsayıyı düzeltme$M$. İzin Vermek$k$ bir topu kaç kez işaretlediğimizi gösteren rastgele değişken olmak $M$çantadan çizer. Amaç bulmak$E(N|k)$. Bu,$M,k$ ve öncekidir.

Bayes kuralı ile

$$\begin{align} P(N=j|k) &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{P(k)}\\ &= \frac{P(k|N=j)P(N=j)}{\sum_{r \in \mathcal{I}} P(k|N=r)P(N=r)} \end{align}$$

Bilgi işlem $P(k|N=j)$ kupon tahsildarları probleminin bir varyantı olan bilinen bir hesaplamadır. $P(k|N=j)$ gözlemleme ihtimalimiz $k$ farklı kuponlar $M$ varken çizer $j$toplam kuponlar. İçin bir tartışma için buraya bakın

$$P(k|N=j) = \frac{\binom{j}{k}k!S(M,k)}{j^M}$$

nerede $S$" Halojen" terimi , ikinci türün bir karıştırma sayısını belirtir . Sonra hesaplayabiliriz

$$E(N|k) = \sum_{j \in \mathcal{I}}jP(N=j|k)$$

Aşağıda çeşitli hesaplamalar $k$ ve $M$. Her durumda, daha önce üniforma kullanıyoruz$[k,10k]$

$$\begin{array}{|c|c|c|} \hline M & k & E(N)\\\hline 10 & 5 & 7.99 \\ 15 & 5 & 5.60 \\ 15 & 10 & 23.69\\ 30 & 15 & 20.00\\ 30 & 20 & 39.53 \\ \hline \end{array}$$