AR'nin durağanlığına dair bir kanıt (2)


17

Ortalama merkezli bir AR (2) işlemini burada standart beyaz gürültü işlemidir. Sadece basitlik adına ve izin verin . Karakteristikler denkleminin köklerine odaklanarak Ders kitaplarındaki klasik koşullar aşağıdaki gibidir: Köklerdeki eşitsizlikleri manuel olarak (Mathematica'nın yardımıyla) çözmeye çalıştım, yani sistem sadece elde

Xt=ϕ1Xt1+ϕ2Xt2+ϵt
ϵtϕ1=bϕ2=a
z1,2=b±b2+4a2a
{|a|<1a±b<1
a±b<1
{|bb2+4a2a|>1|b+b2+4a2a|>1
a±b<1
Can üçüncü koşul ( ) elde birbirlerine önceki iki çözüm ekleyerek kurtarmak olmak bazı işareti noktalar üzerine olur ? Yoksa bir çözümü özlüyor muyum?a + b + a - b < 2 a < 1 | a | < 1|a|<1a+b+ab<2a<1|a|<1

Yanıtlar:


18

Tahminimce, ayrıldığınız karakteristik denklem benimkinden farklıdır. Kabul edip etmediğimizi görmek için birkaç adımda ilerleyeyim.

denklemini düşünün

λ2ϕ1λϕ2=0

Eğer "standart" karakteristik bir köküdür denklem ve ayar , aşağıdaki gibi standart bir yeniden görüntülü elde eder: Bu nedenle, bir nin kararlılığı için alternatif bir koşul , ilk ekranın tüm köklerinin birim çemberin içinde olması, .z1ϕ1zϕ2z2=0z1=λ

1ϕ1zϕ2z2=0z2ϕ1z1ϕ2=0λ2ϕ1λϕ2=0
AR(2)|z|>1|λ|=|z1|<1

Bu gösterimi bir işleminin durağanlık üçgeni türetmek için kullanırız, yani aşağıdaki üç koşul karşılandığında bir sabittir: AR(2)AR(2)

  1. ϕ2<1+ϕ1
  2. ϕ2<1ϕ1
  3. ϕ2>1

İlk ekranın (gerçekse) köklerini olarak . ilk iki koşul.

λ1,2=ϕ1±ϕ12+4ϕ22

Ardından, sabittir iff , dolayısıyla ( gerçekse): daha büyüğü ile sınırlanan , ya da: Benzer şekilde, .AR(2)|λ|<1λi

1<ϕ1±ϕ12+4ϕ22<12<ϕ1±ϕ12+4ϕ2<2
λiϕ1+ϕ12+4ϕ2<2
ϕ1+ϕ12+4ϕ2<2ϕ12+4ϕ2<2ϕ1ϕ12+4ϕ2<(2ϕ1)2ϕ12+4ϕ2<44ϕ1+ϕ12ϕ2<1ϕ1
ϕ2<1+ϕ1

Eğer , o zaman karmaşık ve buKarmaşık bir sayının kare modülü, gerçek karenin artı hayali kısmın karesidir. Bu nedenle, Bu, , dolayısıyla veya , gösterildiği gibi . (Restriksiyon kaynaklanan görünümünde gereksizdir ve .)λiϕ12<4ϕ2

λ1,2=ϕ1/2±i(ϕ12+4ϕ2)/2.
λ2=(ϕ1/2)2+((ϕ12+4ϕ2)/2)2=ϕ12/4(ϕ12+4ϕ2)/4=ϕ2.
|λ|<1ϕ2<1ϕ2>1ϕ2<1ϕ22<1ϕ2<1+ϕ1ϕ2<1ϕ1

Durağanlık üçgenini çizerek, kompleksi gerçek köklerden ayıran çizgiyi de gösteririz.

resim açıklamasını buraya girin

R kullanılarak üretilmiştir

phi1 <- seq(from = -2.5, to = 2.5, length = 51) 
plot(phi1,1+phi1,lty="dashed",type="l",xlab="",ylab="",cex.axis=.8,ylim=c(-1.5,1.5))
abline(a = -1, b = 0, lty="dashed")
abline(a = 1, b = -1, lty="dashed")
title(ylab=expression(phi[2]),xlab=expression(phi[1]),cex.lab=.8)
polygon(x = phi1[6:46], y = 1-abs(phi1[6:46]), col="gray")
lines(phi1,-phi1^2/4)
text(0,-.5,expression(phi[2]<phi[1]^2/4),cex=.7)
text(1.2,.5,expression(phi[2]>1-phi[1]),cex=.7)
text(-1.75,.5,expression(phi[2]>1+phi[1]),cex=.7)

bu çok ayrıntılı bir açıklama.
Marco

λ2z=a+biz2=a2b2+2iab

1
Teşekkürler, oldukça doğru! Sqaured modülüne atıfta bulunuyordum, düzenlemeye bakın.
Christoph Hanck

@ChristophHanck, Aksakal'ın şu iki konudaki cevapları hakkında ne düşünüyorsunuz: 1 ve 2 ? Cevabınızla çelişiyorlar ve eğer öyleyse, doğru cevap nedir?
Richard Hardy

MA()
Sitemizi kullandığınızda şunları okuyup anladığınızı kabul etmiş olursunuz: Çerez Politikası ve Gizlilik Politikası.
Licensed under cc by-sa 3.0 with attribution required.