Neden varyansın örnekleme dağılımı ki-kare dağılımı?

İfade

Örnek varyans örnek dağılımı serbestlik derecesine sahip olan bir ki-kare dağılımı eşit olan , burada numune boyutu (ilgili rastgele değişken normal dağılım olduğu göz önüne alındığında) 'dir.$n-1$$n$

Kaynak

Sezgilerim

Bana sezgisel olarak mantıklı geliyor 1) çünkü ki-kare testi kare ve 2'nin toplamına benziyor çünkü Ki-kare dağılımı sadece kare-normal dağılımın toplamıdır. Ama yine de, bunu iyi anlayamadım.

Soru

İfade doğru mu? Niye ya?

[ bağımsız olarak aynı şekilde dağıtılmış rasgele değişkenler sonra olduğu gerçeğini kabul etmekten memnuniyet .], N ( 0 , 1 ) Σ k i = 1 , Z 2 ı ~ χ 2 $Z_i, i=1,2,\ldots,k$$N(0,1)$$\sum_{i=1}^{k}Z_i^2\sim \chi^2_k$

Resmen, ihtiyacınız olan sonuç Cochran teoreminden gelir . (Başka yollarla gösterilebilse de)

Daha az resmi olarak, popülasyonun ne demek olduğunu bildiğimizden ve bununla ilgili varyansı tahmin ettiğimizi düşünün (örnek ortalamasından ziyade): , sonra ( ) olacak çarpı a rasgele değişkeni.s 2 0 /σ2=$s_0^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}(X_i-\mu)^2$ , Zi=(X-ı-μ)/σ$s_0^2/\sigma^2 = \frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}\left(\frac{X_i-\mu}{\sigma}\right)^2=\frac{1}{n} \sum_{i=1}^{n}Z_i^2$$Z_i=(X_i-\mu)/\sigma$ χ 2 $\frac{1}{n}$$\chi^2_n$

Örnek ortalamanın populasyon ortalaması yerine kullanılması ( ), sapmaların karelerinin toplamını daha küçük yapar, ancak (hangisi, Cochran teoremine bakın). Bu nedenle, şimdi .∑ n i = 1 ( Z ∗ i ) $Z_i^*=(X_i-\bar{X})/\sigma$ , n s 2 0 / σ 2 ~ χ 2 N ( n - 1 ) s 2 / σ 2 ~ χ 2 N - $\sum_{i=1}^{n}(Z_i^*)^2\,\sim\chi^2_{n-1}$$ns_0^2/\sigma^2\sim \chi^2_n$$(n-1)s^2/\sigma^2\sim\chi^2_{n-1}$