Gürültülü gözlemlerden gerçek ortalamanın belirlenmesi

Formun veri noktaları büyük bir set var (ortalama, stdev). Bunu tek (daha iyi) bir ortama ve (umarım) daha küçük bir standart sapmaya düşürmek istiyorum.

Açıkçası sadece comp d a t a m e a n hesaplayabilirim , ancak bu, bazı veri noktalarının diğerlerinden önemli ölçüde daha doğru olduğu gerçeğini hesaba katmaz.$\frac{\sum data_{mean}}{N}$

Basitçe söylemek gerekirse, bu veri noktalarının ağırlıklı bir ortalamasını oluşturmak istiyorum, ancak standart sapma açısından ağırlıklandırma fonksiyonunun ne olması gerektiğini bilmiyorum.

Bir aramak doğrusal tahmincisi ortalama için formun$\mu$

$$\hat{\mu} = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i x_i$$

$\alpha_i$$x_i$$\sigma_i$$x_i$$\mu$$\hat{\mu}$

$$\mathbb{E}[\hat{\mu}] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i \mathbb{E}[x_i] = \mu \sum_{i=1}^{n} \alpha_i$$

$x_i$

$$\operatorname{Var}\left[\hat{\mu}\right] = \sum_{i=1}^{n} \alpha_i^2 \sigma_i^2.$$

$\alpha_i$$1/\sigma_i^2$

$$\hat{\mu} = \frac{\sum_{i=1}^{n} x_i / \sigma_i^2}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2}$$

ve

$$\operatorname{Var}\left[\hat\mu\right] = \frac{1}{\sum_{i=1}^{n} 1 / \sigma_i^2} = \frac{1}{n} \left(\frac{1}{n} \sum_{i=1}^n \frac{1}{\sigma_i^2}\right)^{-1}.$$

Kelimelerle,

$1/n$

$\sigma_i$