Lineer karışık modelde artık teşhis ve varyansların homojenliği

Bu soruyu sormadan önce sitemizde arama yaptım ve birçok benzer soru buldum ( burada , burada ve burada olduğu gibi ). Ancak ilgili soruların iyi yanıtlanmadığını veya tartışılmadığını hissediyorum, bu yüzden bu soruyu tekrar gündeme getirmek istiyorum. Bu tür soruların daha açık bir şekilde açıklanmasını isteyen çok sayıda izleyici olması gerektiğini düşünüyorum.

Sorularım için, önce doğrusal karışık efekt modelini düşünün,

$$\mathbf{y = X\boldsymbol \beta + Z \boldsymbol \gamma + \boldsymbol \epsilon}$$ ; burada $X\boldsymbol \beta$ doğrusal sabit etkiler bileşenidir $\mathbf{Z}$ karşılık gelen ek tasarım matrisidir rastgele etki parametreleri , $\boldsymbol \gamma$ . Ve $\boldsymbol \epsilon \ \sim \ N(\mathbf{0, \sigma^2 I})$ olağan hata terimidir.

Tek sabit etki faktörünün 3 farklı seviye ile kategorik bir değişken Tedavi olduğunu varsayalım . Ve tek rastgele etki faktörü Konu değişkenidir . Bununla birlikte, sabit tedavi etkisi ve rastgele konu etkisi ile karışık etkili bir modelimiz var.

Sorularım şu şekilde:

1. Geleneksel doğrusal regresyon modellerine benzer şekilde doğrusal karma model ortamında varyans varsayımı homojenliği var mı? Öyleyse, yukarıda belirtilen doğrusal karışık model problemi bağlamında özellikle varsayım ne anlama gelir? Değerlendirilmesi gereken diğer önemli varsayımlar nelerdir?

Düşüncelerim: EVET. varsayımlar (yani, sıfır hata ortalaması ve eşit varyans) hala buradan: . Geleneksel doğrusal regresyon modeli ayarında, “hataların varyansı (veya sadece bağımlı değişkenin varyansı) 3 tedavi seviyesinin tamamında sabit” olduğu varsayımını söyleyebiliriz. Ancak karma model ortamında bu varsayımı nasıl açıklayabileceğimi kaybettim. "Varyanslar 3 tedavi seviyesi arasında sabittir, denekler üzerinde koşullandırma var mı, değil mi?"$\boldsymbol \epsilon \ \sim \ N(\mathbf{0, \sigma^2 I})$

2. Artıklar ve etki teşhisi ile ilgili SAS çevrimiçi dokümanı, iki farklı artık getirdi, yani Marjinal artıklar , ve Şartlı artıklar , Sorum şu, iki artık ne için kullanılıyor? Bunları homojenlik varsayımını kontrol etmek için nasıl kullanabiliriz? Bana göre, modelin karşılık geldiği için homojenlik sorununu ele almak için sadece marjinal artıklar kullanılabilir . Buradaki anlayışım doğru mu? r c = Y - X- β - Z γ = r m - Z, γ .

   $$\mathbf{r_m = Y - X \hat{\boldsymbol \beta}}$$ $$\mathbf{r_c = Y - X \hat{\boldsymbol \beta} - Z \hat{\boldsymbol \gamma} = r_m - Z \hat{\boldsymbol \gamma}} .$$ $\boldsymbol \epsilon$

3. Doğrusal karma model altında homojenlik varsayımını test etmek için önerilen herhangi bir test var mı? @Kam, levene'nin testine daha önce işaret etti, bu doğru yol muydu? Değilse, talimatlar nelerdir? Karışık modele uyduktan sonra, kalıntıları alabiliriz ve belki bazı testler yapabiliriz (uygunluk testi gibi?), Ancak nasıl olacağını bilmiyorum.

4. Ayrıca SAS'ta Proc Mixed'dan üç tip kalıntı olduğunu fark ettim, yani Ham artık , Öğrenilen kalıntı ve Pearson kalıntı . Aralarındaki farkları formül açısından anlayabiliyorum. Ancak gerçek veri grafikleri söz konusu olduğunda bana çok benziyorlar. Peki pratikte nasıl kullanılmalılar? Bir türün diğerlerine tercih edildiği durumlar var mı?

5. Gerçek bir veri örneği için, aşağıdaki iki artık grafik SAS'daki Proc Mixed'dan alınmıştır. Varyansların Homojenliği varsayımı onlar tarafından nasıl ele alınabilir?

[Burada birkaç sorum olduğunu biliyorum. Bana herhangi bir soru için düşüncelerinizi iletebilirseniz, bu harika. Yapamıyorsanız hepsine hitap etmeye gerek yok. Tam olarak anlayabilmek için onlar hakkında tartışmak istiyorum. Teşekkürler!]

İşte marjinal (ham) artık araziler.

İşte koşullu (ham) artık araziler.

Soru 1 ve 2'nin birbirine bağlı olduğunu düşünüyorum. İlk olarak, varyans varsayımının homojenliği buradan gelir, . Ancak bu varsayım, homojenlik varsayımının gerekli olmadığı daha genel varyans yapılarına gevşetilebilir. Bu, dağılımının nasıl varsayıldığına bağlı olduğu anlamına gelir .$\boldsymbol \epsilon \ \sim \ N(\mathbf{0, \sigma^2 I})$$\boldsymbol \epsilon$

İkincisi, şartlı artıklar dağılımını (dolayısıyla ilgili varsayımları) kontrol etmek için kullanılırken , marjinal artıklar toplam varyans yapısını kontrol etmek için kullanılabilir.$\boldsymbol \epsilon$

Bu gerçekten geniş bir konu ve standart lineer regresyonla ilgili genel bir resim sunacağım.

Söz listelenen modelinde, eğer , burada bir konu ya da küme belirtmektedir. Let . Cholesky ayrışımı kullanarak, sonuç ve tasarım matrisini dönüştürebiliriz,

$$\mathbf{y_i \sim N(X_i\boldsymbol \beta, Z_i \boldsymbol D Z'_i + \boldsymbol \sigma^2 I)},$$ $\boldsymbol \gamma_i \sim N(\mathbf{0, D})$$i$$\mathbf{\Sigma_i=Z_i \boldsymbol D Z'_i + \boldsymbol \sigma^2 I}$$\mathbf{\Sigma_i=L_i L'_i}$ $$\mathbf{y^*_i=L_i^{-1}y_i; X^*_i=L_i^{-1}X_i}.$$

Belirtildiği gibi, uygulanan uzunlamasına Analizi (268 sayfa), genelleştirilmiş en küçük kareler (GLS) tahmini (gerileme ilgili ) OLS regresyonundan yeniden tahmin edilebilir üzerinde . Böylece , ortaya çıkan OLS'nin tüm yerleşik kalıntı teşhisi burada kullanılabilir .y i X i y ∗ i X ∗ $\boldsymbol \beta$$\mathbf y_i$$\mathbf X_i$$\mathbf y^*_i$$\mathbf X^*_i$

Yapmamız gereken şey:

1. lineer karışık modelde (marjinal) kalıntı veya varyans bileşeni tahminlerinden tahmini;$\boldsymbol \Sigma_i$
2. dönüştürülen verileri kullanarak bir OLS regresyonunu yeniden sığdırın.

OLS regresyonu homojen varyansla bağımsız gözlemler üstlendiğinden, kalıntılarına standart teşhis teknikleri uygulanabilir.

Çok daha fazla ayrıntı, Uygulamalı Boyuna Analiz kitabının Bölüm 10 "Kalan analizler ve teşhisler" bölümünde bulunabilir . Ayrıca , ile dönüştürmeyi tartıştılar ve bazı (dönüştürülmüş) artıkların grafikleri (tahmin edilen değerlere veya tahmin edicilere karşı) var. Daha fazla okuma 10.8 "Daha fazla okuma" ve içindeki bibliyografik notlarda listelenmiştir.$\mathbf L_i$

Ayrıca, benim görüşüme göre, homojen varyanstan bağımsız olduğunu varsayarsak , bu varsayımları standart regresyondaki araçları kullanarak koşullu kalıntılar üzerinde test edebiliriz.$\boldsymbol \epsilon$