Mean = median, unimodal dağılımın simetrik olduğunu ima ediyor mu?

Tek modlu bir dağılım için ortalama = medyan ise dağılımın simetrik olduğunu söylemek yeterli midir?

Wikipedia, ortalama ve medyan arasındaki ilişkiyi söylüyor :

"Eğer dağılım simetrik ise, ortalama medyanla eşittir ve dağılım sıfır çarpıklığa sahip olacaktır. Ayrıca, dağılım imimodal ise, ortalama = medyan = moddur. Bu bir bozuk para atma veya seri 1,2,3,4, ... Bununla birlikte, genel olarak tersin doğru olmadığını, yani sıfır çarpıklığın ortalamanın medyanla eşit olduğu anlamına gelmediğini unutmayın. "

Ancak, ihtiyacım olan bilgiyi toplamak (benim için) çok basit değil. Herhangi bir yardım lütfen.

Simetrik olmayan küçük bir karşı örnek: -3, -2, 0, 0, 1, 4 mod = medyan = ortalama = 0 olan tek modludur.

Düzenleme: Daha küçük bir örnek -2, -1, 0, 0, 3'tür.

Bir örnek yerine rastgele bir değişken hayal etmek istiyorsanız, desteği 0,4 olan 0 hariç tümü üzerinde olasılık kütle fonksiyonu 0.2 olan {-2, -1, 0, 3} olarak alın.

Bu bir yorum olarak başladı ama çok uzadı; Daha fazla cevap vermeye karar verdim.

${A\implies B}$$B\implies A$

Bazı ek sorunlarla ilgilenmek ve burada bir ölçüde ilgili olan bazı kapsamlı cevaplara dikkat çekmek istiyorum.

1. Wikipedia sayfasındaki alıntı yaptığınız ifade de kesinlikle doğru değil. Örneğin, kesinlikle medyanı hakkında simetrik olan, ancak bir anlamı olmayan Cauchy dağılımını düşünün. İfade, 'ortalama ve çarpıklık varsa' gibi bir niteleyiciye ihtiyaç duyar. İlk cümlenin ilk yarısında daha zayıf ifadeye indirsek bile, hala "ortalamanın mevcut olması" gerekir.

2. Sorunuz kısmen simetriyi sıfır çarpıklıkla karıştırıyor (üçüncü an çarpıklığı düşündüğünüzü varsayıyorum, ancak diğer çarpıklık ölçümleri için benzer bir tartışma yazılabilir). 0 çarpıklığa sahip olmak simetri anlamına gelmez. Teklifinizin daha sonraki kısmı ve Alexis'in alıntıladığı Wikipedia bölümü bundan bahsetse de, ikinci alıntıda verilen açıklamada bazı değişiklikler yapılabilir.

Bu cevap , üçüncü moment çarpıklığı ile ortalama ve medyan arasındaki ilişkinin yönü arasındaki ilişkinin zayıf olduğunu göstermektedir (üçüncü moment çarpıklığı ve ikinci Pearson çarpıklığı karşılık gelmez).

Bu cevaptaki 1. madde , Silverfish tarafından verilene benzer, ancak farklı bir ayrık örnek verir.

Düzenleme: Sonunda aslında daha önce arıyordum unimodal örneği kazdık.

Gelen bu cevap aşağıdaki ailesini söz:

$\frac{1}{24}\exp(-x^{1/4}) [1 -\alpha \sin(x^{1/4})]$

İki belirli üye almak (söz konusu bağlantılı cevapta olan mavi ve yeşil yoğunlukları söyleyin)$\alpha=0$$\alpha=\frac{_1}{^2}$

(gri çizgiler, asimetriyi düzleştirmek için x ekseni etrafında çevrili mavi yoğunluğu gösterir)

Whuber, burada sürekli, unimodal ve asimetrik sıfır çarpıklıkla başka bir örnek veriyor . Diyagramını yeniden oluşturdum:

Bu, örneği ve aynı şeyi ortalama hakkında çevirdi (asimetriyi açıkça göstermek için), ancak çok sayıda yararlı bilgi içeren orijinali okumalısınız.

[Whuber cevabı burada hepsi aynı anlarla dağılımları başka asimetrik sürekli ailesini verir. Aynı "iki seçin, bir çevirmek ve 50-50 karışımı almak" hile yapmak tüm garip anlar sıfır ile aynı asimetrik sonucu vardır, ama burada (belki de bazı örnekler olsa da) unimodal sonuçlar vermiyor düşünüyorum. ]

Cevap burada ortalama, ortanca ve mod arasındaki ilişkiyi tartışır.

Bu cevap simetri hipotez testlerini tartışmaktadır.

Hayır.

Ek olarak, dağıtım tek modlu değilse, ortalama = medyan = moddur.

"Bebek hayvan bir tavuk ise, o zaman kökeni bir yumurtadır" şeklinde "Kök bir yumurta ise, bebek hayvan bir tavuktur" anlamına gelmez.

Aynı Wikipedia makalesinden:

Bir kuyruğun uzun ama diğer kuyruğun yağ olduğu durumlarda, çarpıklık basit bir kurala uymaz. Örneğin, sıfır değeri, ortalama simetinin her iki tarafındaki kuyrukların hem simetrik bir dağılım hem de bir kuyruk uzun ama ince olduğu gibi asimetrilerin eşit olduğu asimetrik dağılımlar için ve diğer kısa ama şişman.

İlginç ve anlaşılması kolay örnekler binom dağılımından gelir.

$\times$$=$

            1        2
    +-------------------+
  1 |       0   .32768  |
  2 |       1    .4096  |
  3 |       2    .2048  |
  4 |       3    .0512  |
  5 |       4    .0064  |
  6 |       5   .00032  |
    +-------------------+

Bu ekran için stata kodu vardı mata : (0..5)' , binomialp(5, (0..5), 0.2)'ve muhtemelen bahsetmeye değer herhangi bir istatistiksel yazılımda basit veya daha basittir.

Mantıktan ziyade bir psikoloji meselesi olarak, bu örnek ikna edici bir şekilde patolojik olarak (diğer sorunlarda olduğu gibi, belirli anların bile olmadığı dağıtımları iskonto edebilir) veya amaca uygun olarak tuhaf veya önemsiz bir örnek olarak reddedilemez. örneğin @Silverfish veya 0, 0, 1, 1, 1, 3) tarafından açıklanan icat edilmiş veriler).