Güven aralığı ve güvenilir aralığın çakıştığı zaman örnekleri

Güvenilir Aralık hakkındaki wikipedia makalesinde şöyle diyor:

Tek bir parametre ve tek bir yeterli istatistikte özetlenebilecek veriler söz konusu olduğunda, bilinmeyen parametre bir konum parametresi ise (yani ileri olasılık fonksiyonunun forma sahip olması durumunda) güvenilir aralığın ve güven aralığının çakışacağı gösterilebilir Pr (x | μ) = f (x - μ)), bir öncekine eşit bir düz dağılım; [5] ve ayrıca bilinmeyen parametre bir ölçek parametresi ise (yani ileri olasılık fonksiyonu Pr (x) formuna sahipse = s) = f (x / s)), bir Jeffreys ile önce [5] - sonuncusu şu şekildedir çünkü böyle bir ölçek parametresinin logaritmasını almak tekdüze dağılımlı bir konum parametresine dönüştürür. Ancak bunlar belirgin bir şekilde özel (önemli de olsa) durumlardır; genel olarak böyle bir denklik yapılamaz. "

İnsanlar buna özel örnekler verebilir mi? % 95 CI aslında "% 95 şans" a ne zaman karşılık gelir, dolayısıyla CI genel tanımını "ihlal eder"?

confidence-interval credible-interval

— Wayne
kaynak

normal dağılım:

Bilinen varyansla normal bir dağılım alın. Genelliği kaybetmeden bu varyansı 1 olarak alabiliriz (her bir gözlemi varyansın kareköküne bölerek). Bunun örnekleme dağılımı vardır:

p (X_{1} . . . X_{N} | μ) = {(2 π)}^{- \frac{N}{2}} \exp (- \frac{1}{2} \sum_{i = 1}^{N} (X_{i} - μ)^{2}) = A \exp (- \frac{N}{2} (\bar{X} - μ)^{2})

$p(X_{1}...X_{N}|\mu)=\left(2\pi\right)^{-\frac{N}{2}}\exp\left(-\frac{1}{2}\sum_{i=1}^{N}(X_{i}-\mu)^{2}\right)=A\exp\left(-\frac{N}{2}(\overline{X}-\mu)^{2}\right)$

Burada sadece verilere bağlı bir sabittir. Bu örneklem ortalamasının popülasyon ortalaması için yeterli bir istatistik olduğunu göstermektedir. Önceden birörnek kullanırsak, için arka dağılım şöyle olacaktır: $A$ $\mu$

(μ | X_{1} . . . X_{N}) \sim N o r m a l (\bar{X}, \frac{1}{N}) ⟹ (\sqrt{N} (μ - \bar{X}) | X_{1} . . . X_{N}) \sim N o r m a l (0, 1)

$(\mu|X_{1}...X_{N})\sim Normal\left(\overline{X},\frac{1}{N}\right)\implies \left(\sqrt{N}(\mu-\overline{X})|X_{1}...X_{N}\right)\sim Normal(0,1)$

Yani güvenilir bir aralık şu şekildedir: $1-\alpha$

(\bar{X} + \frac{1}{\sqrt{N}} L_{α}, \bar{X} + \frac{1}{\sqrt{N}} U_{α})

$\left(\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}L_{\alpha},\overline{X}+\frac{1}{\sqrt{N}}U_{\alpha}\right)$

Burada ve standart normal rasgele değişken öyle seçilir ki tatmin: $L_{\alpha}$ $U_{\alpha}$ $Z$

P r (L_{α} < Z < U_{α}) = 1 - α

$Pr\left(L_{\alpha}<Z<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$

Şimdi bir güven aralığı oluşturmak için bu "çok önemli miktardan" başlayabiliriz. Sabit için örnekleme dağılımı standart normal dağılımdır, dolayısıyla bunu yukarıdaki olasılıkla değiştirebiliriz: $\sqrt{N}(\mu-\overline{X})$ $\mu$

P r (L_{α} < \sqrt{N} (μ - \bar{X}) < U_{α}) = 1 - α

$Pr\left(L_{\alpha}<\sqrt{N}(\mu-\overline{X})<U_{\alpha}\right)=1-\alpha$

Sonra için çözmek için yeniden düzenleyin ve güven aralığı güvenilir aralık ile aynı olacaktır. $\mu$

Ölçek parametreleri:

Ölçek parametreleri için, pdf'ler biçimindedir . Biz sunar , karşılık gelir . Ortak örnekleme dağılımı: $p(X_{i}|s)=\frac{1}{s}f\left(\frac{X_{i}}{s}\right)$ $(X_{i}|s)\sim Uniform(0,s)$ $f(t)=1$

p (X_{1} . . . X_{N} | s) = s^{- N} 0 < X_{1} . . . X_{N} < s

$p(X_{1}...X_{N}|s)=s^{-N}\;\;\;\;\;\;\;0<X_{1}...X_{N}<s$

Buradan (gözlemlerin maksimumu) değerine eşit olmak için yeterli istatistiği buluyoruz . Şimdi örnekleme dağılımını buluyoruz: $X_{max}$

P r (X_{m a x} < y | s) = P r (X_{1} < y, X_{2} < y . . . X_{N} < y | s) = {(\frac{y}{s})}^{N}

$Pr(X_{max}<y|s)=Pr(X_{1}<y,X_{2}<y...X_{N}<y|s)=\left(\frac{y}{s}\right)^{N}$

Şimdi bunu alarak parametreden bağımsız hale getirebiliriz . Bu, "döner miktar" ile verilir anlamına gelir ile olan dağılımı. Böylece, beta miktarlarını kullanarak seçebiliriz : $y=qs$ $Q=s^{-1}X_{max}$ $Pr(Q<q)=q^{N}$ $beta(N,1)$ $L_{\alpha},U_{\alpha}$

P r (L_{α} < Q < U_{α}) = 1 - α = U_{α}^{N} - L_{α}^{N}

$Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})=1-\alpha=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}$

Ve önemli miktarı değiştiriyoruz:

P r (L_{α} < s^{- 1} X_{m a x} < U_{α}) = 1 - α = P r (X_{m a x} L_{α}^{- 1} > s > X_{m a x} U_{α}^{- 1})

$Pr(L_{\alpha}<s^{-1}X_{max}<U_{\alpha})=1-\alpha=Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1})$

Ve güven aralığımız var. Jeffreys ile Bayesian çözüm için önce:

p (s | X_{1} . . . X_{N}) = \frac{s^{- N - 1}}{\int_{X_{m a x}}^{\infty} r^{- N - 1} d r} = N (X_{m a x})^{N} s^{- N - 1}

$p(s|X_{1}...X_{N})=\frac{s^{-N-1}}{\int_{X_{max}}^{\infty}r^{-N-1}dr}=N (X_{max})^{N}s^{-N-1}$

⟹ P r (s > t | X_{1} . . . X_{N}) = N (X_{m a x})^{N} \int_{t}^{\infty} s^{- N - 1} d s = {(\frac{X_{m a x}}{t})}^{N}

$\implies Pr(s>t|X_{1}...X_{N})=N (X_{max})^{N}\int_{t}^{\infty}s^{-N-1}ds=\left(\frac{X_{max}}{t}\right)^{N}$

Şimdi güven aralığını ekliyoruz ve güvenilirliğini hesaplıyoruz

P r (X_{m a x} L_{α}^{- 1} > s > X_{m a x} U_{α}^{- 1} | X_{1} . . . X_{N}) = {(\frac{X_{m a x}}{X_{m a x} U_{α}^{- 1}})}^{N} - {(\frac{X_{m a x}}{X_{m a x} L_{α}^{- 1}})}^{N}

$Pr(X_{max}L_{\alpha}^{-1}>s>X_{max}U_{\alpha}^{-1}|X_{1}...X_{N})=\left(\frac{X_{max}}{X_{max}U_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}-\left(\frac{X_{max}}{X_{max}L_{\alpha}^{-1}}\right)^{N}$

= U_{α}^{N} - L_{α}^{N} = P r (L_{α} < Q < U_{α})

$=U_{\alpha}^{N}-L_{\alpha}^{N}=Pr(L_{\alpha}<Q<U_{\alpha})$

Ve presto, güvenilirliğine ve kapsamına sahibiz . $1-\alpha$

— probabilityislogic
kaynak

Bir başyapıt, teşekkürler! "Normal dağılımdan bir numunenin ortalamasını hesaplarken,% 95 CI aynı zamanda% 95 Güvenilir Aralık" veya bunun gibi basit bir şey olabileceğini umuyordum. (Bu sözde cevabı sadece belirli örneklerle ilgili hiçbir fikrim yok.)

— Wayne

Sıklıkla% 95'lik bir tahmin / tolerans aralığının OLS regresyonu ve normal hatalarla birlikte Bayesçi bir tahmin aralığına karşılık geldiğine inanıyorum. Öyle görünüyor ki predict.lm'nin cevabını simüle edilmiş bir cevapla karşılaştırdığımda. Bu doğru mu?

— Wayne

İçin için tek tip bir kullanım öncesi durumunda, ve için önceki Jeffreys , o zaman denklik var.

Y = α + β X

$Y=\alpha+\beta X$

α, β

$\alpha,\beta$

σ

$\sigma$

— probabilityislogic

Çok teşekkürler! Güven Aralığı açısından yaptığım bir gerileme için bir CI açıklamaya çalışıyorum ve bu sadece Güvenilir Bir Aralık bekleyen sıradan bir kitleyle bağlantı kurmuyor. Hayatı benim için çok daha kolay hale getiriyor ... belki de layman'ın CI'leri yanlış anlamasını güçlendireceği için tüm istatistiksel dünya için kötü.

— Wayne

@Wayne - durum sadece konum ölçeği ailelerinden biraz daha genel. Genellikle bir CI, bunun mevcut olduğu bir "yeterli istatistiğe" (bu ikisi olduğu gibi) dayanıyorsa, güvenilir aralığa eşdeğer olacaktır. Yeterli istatistik yoksa, CI'nın güvenilir aralık yorumlaması için "yardımcı istatistikler" olarak adlandırılan şeyi şart koşması gerekir.

— probabilityislogic