Stokastik bir süreç, zaman içinde gelişen bir süreçtir, bu yüzden gerçekten "zaman dizileri" demenin daha çekici bir yolu mu?

Sorunlu birçok tutarsızlık yorumlarda ve cevaplarda göründüğü için, bazı yetkililere başvuralım.

James Hamilton bir zaman serisi bile tanımlamıyor, ama ne olduğu konusunda net:

... bu sayıları kümesi , verileri oluşturan temel stokastik sürecin yalnızca bir sonucudur. Gerçekten de, süreci sonsuz bir süre boyunca gözlemlediğimizi hayal etsek bile, dizisine sonsuz dizi olur Hala bir zaman serisi sürecinden tek bir gerçekleştirme olarak görülüyor. ...{ y t } ∞ t = ∞ = { … , $T${ y t } ∞ t =

$$\{y_t\}_{t=\infty}^\infty = \{\ldots, y_{-1}, y_0, y_1, y_2, \ldots, y_T, y_{T+1}, y_{T+2}, \ldots, \},$$ $\{y_t\}_{t=\infty}^\infty$

Bir pil düşünün bilgisayarlar dizilerin üretilmesi ... ve her biriyle tarihi ile ilişkili gözlemi seçmeyi düşünün sıra: Bu, rasgele değişkeni gerçekleşmelerinin bir örneği olarak açıklanacaktır . ...{ y ( 1 ) t } ∞ t = - ∞ , { y ( 2 ) t } ∞ t = - ∞ , … , { y ( I $I$$\{y_t^{(1)}\}_{t=-\infty}^{\infty},$ $\{y_t^{(2)}\}_{t=-\infty}^{\infty}, \ldots,$ t{y ( 1 ) t ,y ( 2 ) t ,…,y ( I $\{y_t^{(I)}\}_{t=-\infty}^{\infty}$$t$I-Y

$$\{y_t^{(1)}, y_t^{(2)}, \ldots, y_t^{(I)}\}.$$ $I$$Y_t$

( Zaman Serisi Analizi , Bölüm 3.)

Bu nedenle, bir "zaman serisi işlemi", tamsayıları tarafından indekslenen rasgele değişkenler .$\{Y_t\}$$t$

Gelen stokastik diferansiyel denklemler, Bernt Øksendal genel stokastik işleminin standart matematiksel bir tanımını sağlar:

Tanım 2.1.4. Bir stokastik işlem bir parametrized rastgele değişkenlerin koleksiyon bir olasılık uzayında tanımlanan ve değerler almaya . ( Ω , K , P ) R,

$$\{X_t\}_{t\in T}$$ $(\Omega, \mathcal{F}, \mathcal{P})$ $\mathbb{R}^n$

parametresi genellikle (bu kitapta olduğu gibi) yarım satırdır , ancak aynı zamanda bir aralık , negatif olmayan tamsayılar ve hatta altkümeleri de olabilir. için .[ 0 , ∞ ) [ a , b ] R ' , n , n ≥ $T$$[0,\infty)$$[a,b]$$\mathbb{R}^n$$n\ge 1$

İkisini bir araya getirerek, bir zaman serisi sürecinin tamsayılar tarafından indekslenen stokastik bir süreç olduğunu görüyoruz .

Bazı insanlar , bir zaman serisi sürecinin gerçekleştirilmesine atıfta bulunmak için "zaman dizileri" kullanır ( Wikipedia makalesinde olduğu gibi ). Hamilton’un dilindeki süreci, “zaman serisi süreci” kullanımıyla süreci gerçekleştirmekten ayırmak için makul bir çaba görebiliyoruz, böylece “zaman serileri” ni gerçekleştirmelere (veya hatta verilere) atıfta bulunmak için kullanabiliyor.

Stokastik bir işlem, bir dizinin belirli bir kümedeki değerleri aldığı, bu dizinin sıralandığı ve zamana karşılık geldiği, (mutlaka bağımsız olmamak üzere) rasgele değişkenler kümesi veya topluluğudur . örnek rastgele yürüyüş. Zaman serileri Stokastik sürecin gerçekleştirilmesidir.$\left\{X_t\right\}$

Stokastik bir sürecin tanımlanması

Let bir olasılık uzay. Let başka ölçülebilir bir alan olabilir (örneğin, gerçek sayılar alanı olarak ). Biraz kesin bir şekilde konuşma:S $(\Omega, \mathcal{F}, P)$$S$$\mathbb{R}$

• Bir rastgele değişken bir ölçülebilir fonksiyonudur için .$\Omega$$S$
• Stokastik bir süreç, zamanı tarafından indekslenen rastgele değişkenlerin bir ailesidir . $t$
  • Herhangi bir süre için , rastgele bir değişkendirX $t \in \mathcal{T}$$X_t$
  • Herhangi bir sonuç için , , stokastik sürecin, zaman içinde attığı olası bir yolun gerçekleşmesidir .X ( ω ) $\omega \in \Omega$$X(\omega)$$X$

Bir zaman serisi tanımlama

Stokastik bir sürecin kristal netliğinde bir matematiksel tanımı olsa da. Bir zaman serisi daha az kesin bir kavramdır ve insanlar zamanla ilişkili iki ama farklı nesneye atıfta bulunur:

1. WHuber'in tanımladığı gibi, tam sayılarla indekslenen bir stokastik süreç veya tam sayılarla eşleştirilerek bir anlamda normal, artan bir zaman birimi (ör. Aylık veriler).
2. Düzenli aralıklarla gözlemlenen bir veri toplama. Bu, tamsayılar tarafından indekslenen stokastik bir sürecin gerçekleştirilmesi olabilir. Bazen buna zaman serisi verileri denir.

Örnek: iki çakmak

Let . sırasıyla 1 ve 2 çevirme işleminin sonucu olsun .$\Omega = \{ \omega_{HH}, \omega_{HT}, \omega_{TH}, \omega_{TT}\}$$X_1, X_2$

Bu yüzden açıkça stokastik bir süreçtir. İndeksleme tamsayılar olduğundan, insanlar buna zaman dizisi de diyebilirler. İnsanlar ayrıca , örneğin gerçekleştirilmesini de söyleyebilirler. , bir zaman serisi veya zaman serisi verileri.X X ( ω H , H ) = ( lH , lH $\{X_1, X_2\}$$X$$X(\omega_{HH}) = (H, H)$

Stokastik bir süreçle zaman serileri arasındaki fark, klavyedeki bir kedi ile Yığın Değişimindeki bir cevap arasındaki fark gibidir. Klavyelerdeki kediler cevap verebilir, ancak klavyelerdeki kediler cevap değildir . Ayrıca, her cevap klavyedeki bir kedi tarafından üretilmez.

Bir zaman serisi, zaman-değer-veri-noktası çiftleri topluluğu olarak anlaşılabilir. Öte yandan stokastik bir süreç matematiksel bir model ya da zaman serilerinin dağılımının matematiksel bir tanımıdır. Bazı zaman serileri, her iki türden stokastik süreçlerin gerçekleştirilmesidir. Veya, başka bir bakış açısıyla: Zaman serisi oluşturmak için stokastik bir süreci model olarak kullanabilirim.

Ayrıca, zaman serileri başka şekillerde de üretilebilir:

• Gözlemlerin sonucu olabilirler ve böylece gerçeklik tarafından üretilirler. Gerçeği Stokastik bir süreç olarak modelleyebilsem de (gerçekliği stokastik bir süreç olarak gördüğümü söyleyebilirim), gerçeklik de bir kutunun iç kısmının bir puan noktası olmadığı gibi , stokastik bir süreç değildir. modelleme bağlamında iki eşdeğeri dikkate alın).

• Deterministik süreçlerle üretilebilirler. Şimdi, kesinlikle konuşursak, stokastik süreçleri ve deterministik süreçleri öncekinin özel durumları olacak şekilde tanımlayabiliriz (ve tartışmalıyız), ancak bunu nadiren kullanırız ve deterministik süreçleri özel stokastik süreçlerin vakaları olarak kullanırız. karışıklığa neden olabilir - bunu doğrusal olmayan bir denklem sistemi olarak adlandırmakla karşılaştırabilirsiniz .$x=2$

^{Crete Ayrık zamanlı stokastik bir işlemse. Sürekli zamanlı stokastik süreç, zaman serilerinden çok fonksiyonların dağılımlarıdır.}

Zaman serileri ve Stokastik süreç hakkındaki tüm tartışmaları / yorumları takdir ediyorum. İşte farkı anlıyorum: Zaman serileri gözlemlenen zamanla endekslenen bir dizi sayı olarak kaydedilen gözlenen bir olgudur; Büyük olasılıkla New York Borsasında hisse senedi fiyatları gibi gerçek hayat olgusunun bir dizi gözlemidir. Öte yandan, stokastik süreç her zaman olduğu gibi zaman serisinin matematiksel bir gösterimi (bir üretim değil) olarak anlaşılmaktadır.