Kovaryans ve bağımsızlık?

54

Ders kitabımdan değerinin X ve Y'nin bağımsız olduğunu garanti etmediğini okudum . Fakat eğer bağımsızlarsa, kovaryansları 0 olmalıdır. Henüz herhangi bir uygun örnek düşünemedim; Biri bir tane sağlayabilir mi? $\text{cov}(X,Y)=0$

independence covariance

— Uçan Domuz
kaynak

10

Ayrıca , belirli bir sıfır olmayan kovaryansın iki değişkenli bir veri kümesi tarafından gerçekleştirilmesinin birçok farklı yolunu gösteren Anscombe's Quartet'in hızlı bir şekilde incelenmesini de isteyebilirsiniz .

— whuber

7

Unutulmaması gereken nokta, kovaryansın ölçüsünün doğrusallığın bir ölçüsü olduğudur. Kovaryansın hesaplanması 'Veriler düz bir çizgi deseni oluşturuyor mu?' Sorusuna cevap veriyor. Veriler doğrusal bir düzen izlerse, bu nedenle bağımlıdır. AMA, bu verilerin bağımlı olabileceği tek yoldur. 'Dikkatsizce sürüyor muyum?' Diye sormak gibi. Bir soru 'Hız sınırını 25 mil geçiyor musunuz?' Olabilir. Ama dikkatsizce sürmenin tek yolu bu değil. Başka bir soru 'Sarhoş musunuz?' Olabilir. etc .. Dikkatsizce sürmenin birden fazla yolu var.

— Adam,

Sözde doğrusallık ölçüsü ilişkiye bir yapı kazandırır. İlişkinin doğrusal olmayan olabilmesi önemli olan, nadir olmayan bir durumdur. Genellikle, kovaryans sıfır değildir, varsayımsaldır. Kovaryans, büyüklüğü ve oranı göstermez,

— Subhash C. Davar 24:13

48

Kolay örnek: olasılık 0,5 ile veya olan rastgele bir değişken olmasına izin verin . Daha sonra izin rastgele bir şekilde, değişken ise , ve rasgele olan veya olasılık 0.5 eğer ile . $X$ $-1$ $+1$ $Y$ $Y=0$ $X=-1$ $Y$ $-1$ $+1$ $X=1$

Açıkçası ve oldukça bağımlıdır ( bilmek beni mükemmel bir şekilde bilmeme izin verir ), ancak kovaryansları sıfırdır: İkisinin de sıfır ortalaması vardır ve $X$ $Y$ $Y$ $X$

\begin{aligned} E [X Y] & = & (- 1) & \cdot & 0 & \cdot & P (X = - 1) \\ + & 1 & \cdot & 1 & \cdot & P (X = 1, Y = 1) \\ + & 1 & \cdot & (- 1) & \cdot & P (X = 1, Y = - 1) \\ = & 0. \end{aligned}

$\eqalign{ \mathbb{E}[XY] &=&(-1) &\cdot &0 &\cdot &P(X=-1) \\ &+& 1 &\cdot &1 &\cdot &P(X=1,Y=1) \\ &+& 1 &\cdot &(-1)&\cdot &P(X=1,Y=-1) \\ &=&0. }$

Ya da daha genel olarak, herhangi bir dağıtım almak ve herhangi öyle ki herkes için yani ortak bir dağıtım (olduğunu ekseni etrafında simetrik ), ve her zaman sıfır kovaryansınız olur. Fakat ne zaman bağımsız olursunuz ; yani şartlı maddelerin tümü marjinal ile aynı değildir. Veya ekseni etrafındaki simetri için aynen . $P(X)$ $P(Y|X)$ $P(Y=a|X) = P(Y=-a|X)$ $X$ $x$ $P(Y|X) \neq P(Y)$ $y$

— jpillow
kaynak

32

İşte her zaman öğrencilere verdiğim örnek. ve ile rastgele bir değişkeni alın , örneğin sıfır ortalama ile normal rastgele değişken. Al . ve birbiriyle ilgili olduğu açık , ama $X$ $EX=0$ $EX^3=0$ $Y=X^2$ $X$ $Y$

c o v (X, Y) = E X Y - E X \cdot E Y = E X^{3} = 0.

$cov(X,Y)=EXY-EX\cdot EY=EX^3=0.$

— mpiktas
kaynak

Ben de bu örneği sevdim. Özel bir durum olarak, bir N (0,1) rv ve bir chi2 (1) rv ilişkisizdir.

— ocram

3

+1, ancak küçük bir nitpick olarak, değerinin ayrı ayrı olduğunu varsaymanız gerekir (dağılımın simetri varsayımından veya ), gibi bir sorun şeklinde olmaya çalışıyor . @ Ocram'ın " bir N (0,1) rv ve bir chi2 (1) rv'nin ilişkisiz olduğu" iddiasıyla ilgili endişeliyim. (eklenen) Evet, ve ilintisizdir, ancak herhangi bir ve rastgele değişkenler .

E [X^{3}] = 0

$E[X^3] = 0$

E [X] = 0

$E[X] = 0$

E [X^{3}]

$E[X^3]$

\infty - \infty

$\infty - \infty$

X \sim N (0, 1)

$X \sim N(0,1)$

X^{2} \sim χ^{2} (1)

$X^2 \sim \chi^2(1)$

N (0, 1)

$N(0,1)$

χ^{2} (1)

$\chi^2(1)$

— Dilip Sarwate

@DilipSarwate, teşekkürler, cevabımı buna göre düzenledim. Bunu yazdığımda normal değişkenler hakkında olsa da, onlar için sıfır üçüncü an sıfır ortalamadan sonra gelir.

— Şubat'ta mpiktas

19

Aşağıdaki görüntünün (kaynak Vikipedi ) üçüncü satırda birkaç örneği vardır, özellikle birinci ve dördüncü örnek güçlü bir bağımlı ilişkiye sahiptir, fakat 0 korelasyon (ve 0 kovaryansı) vardır.

görüntü tanımını buraya girin

— naught101
kaynak

15

Bazı diğer örnekler, bir daire veya elips oluşturan veri noktalarını göz önünde bulundurur, kovaryans 0'dır, ancak x'in y'yi 2 değere daraltdığını bilmek. Veya bir kare veya dikdörtgen veri. Ayrıca bir X veya V veya bir ^ veya <veya> oluşturan verilerin tümü kovaryansı 0 verecektir, ancak bağımsız değildir. Eğer y = sin (x) (veya cos) ve x, periyodik bir tamsayıyı kapsarsa, cov, 0'a eşit olacaktır, ama x'i bildiğinizi bilmek, y'yi veya en azından | y | elips, x, <ve> durumlarında.

— Greg Snow
kaynak

1

Bu, eğer "eğer x, zirvede veya çukurda başlayan periyotların bir tamsayısını

— kapsarsa